ベルヌーイ数と第2種スターリング数の関係と第2種スターリング数の一般項より、
\begin{align*} B_{n} & =\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}\frac{k!}{k+1}S_{2}\left(n,k\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}\frac{k!}{k+1}\left(\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)j^{n}\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}\frac{C\left(k,j\right)}{k+1}j^{n}\\ & =\sum_{j=0}^{n}\sum_{k=j}^{n}\left(-1\right)^{j}\frac{C\left(k,j\right)}{k+1}j^{n}\\ & =\sum_{j=0}^{n}\left(-1\right)^{j}j^{n}\sum_{k=j}^{n}\frac{C\left(k,j\right)}{k+1} \end{align*} となるので与式は成り立つ。