交換子・反交換子と指数関数の定義
交換子・反交換子と指数関数の定義
\(A,B\)を演算子とする。
交換子・反交換子と指数関数を次で定義する。
\(A,B\)を演算子とする。
交換子・反交換子と指数関数を次で定義する。
(1)交換子
\[ \left[\hat{A},\hat{B}\right]:=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A} \](2)反交換子
\[ \left\{ \hat{A},\hat{B}\right\} :=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A} \](3)指数関数
\[ e^{\hat{A}}:=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\hat{A}^{k}}{k!} \]演算子\(\hat{A}\)はハットを省略して\(A\)と表記することもある。
\(\left[\hat{A},\hat{B}\right]=0\)のとき\(\hat{A}\)と\(\hat{B}\)は可換であるという。
\(\left[\hat{A},\hat{B}\right]\ne0\)のとき\(\hat{A}\)と\(\hat{B}\)は非可換であるという。
交換子が満たす性質を交換関係、反交換子が満たす性質を反交換関係という。
\(\left[\hat{A},\hat{B}\right]=0\)のとき\(\hat{A}\)と\(\hat{B}\)は可換であるという。
\(\left[\hat{A},\hat{B}\right]\ne0\)のとき\(\hat{A}\)と\(\hat{B}\)は非可換であるという。
交換子が満たす性質を交換関係、反交換子が満たす性質を反交換関係という。
ページ情報
| タイトル | 交換子・反交換子と指数関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/q9ryvwaf/ |
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ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(BCH公式)
\[
e^{A}e^{B}=\exp\left(A+B+\frac{1}{2}\left[A,B\right]+\frac{1}{12}\left[A-B,\left[A,B\right]\right]+\cdots\right)
\]
積の交換子の性質
\[
\left[A^{n},B\right]=\sum_{k=1}^{n}A^{n-k}\left[A,B\right]A^{k-1}
\]
反交換子を含む基本的性質(反交換関係)
\[
\left[AB,C\right]=A\left\{ B,C\right\} -\left\{ A,C\right\} B
\]
交換子の基本的性質(交換関係)
\[
\left[A,BC\right]=\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right]
\]