部分距離空間・直積距離空間の定義
部分距離空間・直積距離空間を次で定義する。

(1)部分距離空間

距離空間\(\left(X,d_{X}\right)\)があり、部分集合\(A\subseteq X\)があるとする。
\(A\)での距離関数を\(d_{A}:A\times A\rightarrow\mathbb{R},\left(a_{1},a_{2}\right)\mapsto d_{A}\left(a_{1},a_{2}\right)=d_{X}\left(a_{1},a_{2}\right)\)とすると、\(\left(A,d_{A}\right)\)は距離空間となり、この\(\left(A,d_{A}\right)\)を\(\left(X,d_{X}\right)\)の部分距離空間という。
このとき、距離空間\(\left(X,d_{X}\right),\left(A,d_{A}\right)\)から作られる位相空間をそれぞれ\(\left(X,\mathcal{O}_{d_{X}}\right),\left(A,\mathcal{O}_{d_{A}}\right)\)とすると\(\mathcal{O}_{d_{A}}\)は\(\mathcal{O}_{d_{X}}\)の相対位相\(\left\{ O\cap A;O\in\mathcal{O}_{d_{X}}\right\} \)と一致する。

(2)直積距離空間

距離空間\(\left(X_{1},d_{1}\right),\left(X_{2},d_{2}\right),\cdots,\left(X_{n},d_{n}\right)\)があるとき、直積\(X\)を\(X=\prod_{k=1}^{n}X_{k}\)とする。
このとき、\(p_{k},q_{k}\in X_{k}\)として2点\(P=\left(p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}\right),Q=\left(q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}\right)\)として、\(d\left(P,Q\right)^{2}:=\sum_{k=1}^{n}d_{k}\left(p_{k},q_{k}\right)^{2}\)と定義すると、\(\left(X,d\right)\)は距離空間となり、これを\(\left(X_{1},d_{1}\right),\left(X_{2},d_{2}\right),\cdots,\left(X_{n},d_{n}\right)\)の直積距離空間という。