第1種・第2種不完全ガンマ関数の定義
第1種・第2種不完全ガンマ関数の定義
\[ \gamma\left(a,x\right)=\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt \]
(1)第1種不完全ガンマ関数
\(\Re\left(a\right)>0\)とする。\[ \gamma\left(a,x\right)=\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt \]
(2)第2種不完全ガンマ関数
\[ \Gamma\left(a,x\right)=\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt \]
ページ情報
| タイトル | 第1種・第2種不完全ガンマ関数の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/qe15jqle/ |
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(*)ガンマ関数と複素数
\[
\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right)
\]
ガンマ関数の無限乗積
\[
\Gamma(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!Q^{-1}(x,n+1)
\]
1次式の総乗と階乗
\[
\prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)}
\]
ポリガンマ関数同士の差の極限
\[
\lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1}
\]