(1)

\(\Rightarrow\)

\(n=1\)のとき

明らかに成り立つ。

\(n=2\)のとき

\(X_{1},X_{2}\)は連結なので\(X_{1}\ne\emptyset,X_{2}\ne\emptyset\)であり、任意の\(x_{1}\in X_{1},x_{2}\in X_{2}\)に対し、\(Y_{x_{1},x_{2}}=\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\)とおく。
このとき、\(\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\)は\(X_{1}\)と同相で\(\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\)は\(X_{2}\)と同相より、\(\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right),\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\)は共に連結となり、\(\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\cap\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)=\left\{ \left(x_{1},x_{2}\right)\right\} \ne\emptyset\)なので、\(Y_{x_{1},x_{2}}\)は連結となる。
また、
\begin{align*} \left\{ x_{1}\right\} \times X_{2} & \subseteq\left(\bigcap_{x_{2}\in X_{2}}\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\\ & =\bigcap_{x_{2}\in X_{2}}\left(\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\right)\\ & =\bigcap_{x_{2}\in X_{2}}Y_{x_{1},x_{2}} \end{align*} であるので、\(\bigcap_{x_{2}\in X_{2}}Y_{x_{1},x_{2}}\ne\emptyset\)となり、\(\bigcup_{x_{2}\in X_{2}}Y_{x_{1},x_{2}}\)は連結となる。
ここで、
\begin{align*} \bigcup_{x_{2}\in X_{2}}Y_{x_{1},x_{2}} & =\bigcup_{x_{2}\in X_{2}}\left(\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\right)\\ & =\left(\bigcup_{x_{2}\in X_{2}}\left(X_{1}\times\left\{ x_{2}\right\} \right)\right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\\ & =\left(X_{1}\times\bigcup_{x_{2}\in X_{2}}\left\{ x_{2}\right\} \right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\\ & =\left(X_{1}\times X_{2}\right)\cup\left(\left\{ x_{1}\right\} \times X_{2}\right)\\ & =\left(X_{1}\times X_{2}\right) \end{align*} であるので、\(X_{1}\times X_{2}\)も連結となる。
故に\(n=2\)のとき成り立つ。

\(3\leq n\)のとき

\(n=k\)のとき成り立つと仮定すると、\(n=k+1\)のときは\(X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\times X_{n+1}\)と\(\left(X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\right)\times X_{n+1}\)は同相であるので、連結な\(X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\)と\(X_{n+1}\)の直積になり\(n=2\)の場合より、この直積空間\(\left(X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\right)\times X_{n+1}\)は連結となる。
故に数学的帰納法より、\(3\leq n\)のとき成り立つ。

-

これらより、連結な有限個の直積空間は連結となる。

\(\Leftarrow\)

射影\(\pi_{1}:X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\rightarrow X_{1}\)は連続写像であるので\(X_{1}\times X_{2}\times\cdots\times X_{n}\)が連結ならば\(X_{1}\)も連結となる。
\(X_{2},\cdots,X_{n}\)についても同様に連結となる。
これより\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

別証明

\(n=2\)のときの\(\Rightarrow\)を示す。
任意に\(\left(a_{1},a_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right)\in X_{1}\times X_{2}\)をとる。
このとき、写像\(f:X_{1}\rightarrow X_{1}\times X_{2},x\mapsto\left(x,b_{2}\right)\)と\(g:X_{2}\rightarrow X_{1}\times X_{2},y\mapsto\left(a_{1},y\right)\)を定めると、写像\(f,g\)は共に連続となるので、像\(f\left(X_{1}\right)=X_{1}\times\left\{ b_{2}\right\} ,g\left(X_{2}\right)=\left\{ a_{1}\right\} \times X_{2}\)は共に連結となる。
このとき、
\[ \left(a_{1},b_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right)\in f\left(X_{1}\right) \] \[ \left(a_{1},a_{2}\right),\left(a_{1},b_{2}\right)\in g\left(X_{2}\right) \] となるので、同値関係\(\left(a_{1},b_{2}\right)\sim\left(b_{1},b_{2}\right)\)と\(\left(a_{1},a_{2}\right)\sim\left(a_{1},b_{2}\right)\)が成り立ち、推移律より、\(\left(a_{1},a_{2}\right)\sim\left(a_{1},b_{2}\right)\sim\left(b_{1},b_{2}\right)\)が成り立つ。
従って、\(\left(a_{1},a_{2}\right)\)と\(\left(b_{1},b_{2}\right)\)は同じ連結成分となるので\(X_{1}\times X_{2}\)は連結となる。
故に連結な位相空間\(X_{1},X_{2}\)同士の直積\(X_{1}\times X_{2}\)は連結となる。

(2)

\(\Rightarrow\)

\(X\times Y\)の任意の2点\(\left(a_{1},a_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right)\)をとる。
\(X\)は弧状連結なので、ある連続写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X\)が存在して、\(f\left(0\right)=a_{1},f\left(1\right)=b_{1}\)を満たす。
同様に\(Y\)は弧状連結なので、ある連続写像\(g:\left[0,1\right]\rightarrow X\)が存在して、\(g\left(0\right)=a_{2},g\left(1\right)=b_{2}\)を満たす。
ここで写像\(f\times g:\left[0,1\right]\rightarrow X\times Y\)を\(\left(f\times g\right)\left(x\right)=\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)\)とすると、\(f\times g\)は連続であり、\(\left(f\times g\right)\left(0\right)=\left(f\left(0\right),g\left(0\right)\right)=\)\(\left(a_{1},a_{2}\right)\)となり\(\left(f\times g\right)\left(1\right)=\left(f\left(1\right),g\left(1\right)\right)=\)\(\left(b_{1},b_{2}\right)\)となる。
まとめると、任意の\(\left(a_{1},a_{2}\right),\left(b_{1},b_{2}\right)\in X\times Y\)に対し、写像\(f\times g:\left[0,1\right]\rightarrow X\times Y\)を\(\left(f\times g\right)\left(x\right)=\left(f\left(x\right),g\left(x\right)\right)\)とすると、\(f\times g\)は連続であり、\(\left(f\times g\right)\left(0\right)=\)\(\left(a_{1},a_{2}\right)\)となり\(\left(f\times g\right)\left(1\right)=\)\(\left(b_{1},b_{2}\right)\)となるので弧状連結となる。
故に\(\Rightarrow\)は成り立つ。

\(\Rightarrow\)

射影\(\pi_{X}:X\times Y\rightarrow X\)は連続写像であるので\(X\times Y\)が弧状連結ならば\(X\)も弧状連結となる。
\(Y\)についても同様に弧状連結となる。
これより\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。