(1)

\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)が非連結であると仮定する。
非連結なので、ある部分集合\(A\subseteq X\)が存在し開集合かつ閉集合にならなければいけないが、開集合になるためには\(\left|A^{c}\right|<\infty\)でなければいけなく、閉集合になるためには\(\left|A\right|<\infty\)とならなければいけないので、\(\left|X\right|=\left|A\cup A^{c}\right|=\left|A\right|+\left|A^{c}\right|<\infty\)となり無限集合でないので矛盾。
従って、非連結であるという仮定が間違いで背理法より連結となる。

(2)

弧状連結になるには連続写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X\)が存在しなければいけない。
しかし、\(\left|\left[0,1\right]\right|=\aleph_{1},\left|X\right|=\aleph_{0}\)なので、ある\(x\in X\)が存在し\(\left|f^{\bullet}\left(x\right)\right|\geq\aleph_{0}\)となるので閉集合\(\left\{ x\right\} \)の逆像は閉集合にならない。
従って連続写像が存在しないので弧状連結にならない。

(3)

任意の\(a,b\)を選ぶ。
\(a=b\)のときは\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X,t\mapsto f\left(t\right)=a=b\)とすれば連続写像となる。
\(a\ne b\)のときは\(\left|\left[0,1\right]\right|=\aleph_{1},\left|X\right|\geq\aleph_{1}\)なので、単射となる写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X,f\left(0\right)=a,f\left(1\right)=b\)が存在する。
ここで\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)の閉集合全体の集合を\(\mathcal{F}_{c}\)とする。
任意の\(F_{c}\in\mathcal{F}_{c}\)に対し、\(F_{c}\)は有限集合で\(f\)は単射なので逆像\(f^{\bullet}\left(F_{c}\right)\)は有限個の1点集合の和集合なので閉集合となり\(f\)は連続写像となる。
これらより、\(a=b\)のときも\(a\ne b\)のときも\(f:\left[0,1\right]\rightarrow X,f\left(0\right)=a,f\left(1\right)=b\)となる連続写像が存在するので弧状連結となる。