(1)

\begin{align*} \pv\alpha^{\gamma}\pv\beta^{\gamma} & =e^{\gamma\Log\alpha}e^{\gamma\Log\beta}\\ & =e^{\gamma\left(\Log\alpha+\Log\beta\right)}\\ & =e^{\gamma\left(\Log\left(\alpha\beta\right)+2\pi i\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)\right)}\\ & =e^{\gamma\Log\left(\alpha\beta\right)+2\pi i\gamma\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)}\\ & =e^{\gamma\Log\left(\alpha\beta\right)}e^{2\pi i\gamma\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)}\\ & =\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}e^{2\pi i\gamma\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \pv\alpha^{\gamma}\pv\beta^{\gamma}=\pv\left(\alpha\beta\right)^{\gamma} & \Leftrightarrow1=e^{2\pi i\gamma\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)}\\ & \Leftrightarrow\gamma\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)\in\mathbb{Z}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)=0 & \gamma\notin\mathbb{Z}\\ \top & \gamma\in\mathbb{Z} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} -\pi<\Arg\alpha+\Arg\beta\leq\pi & \gamma\notin\mathbb{Z}\\ \top & \gamma\in\mathbb{Z} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\left(-\pi<\Arg\alpha+\Arg\beta\leq\pi\land\gamma\notin\mathbb{Z}\right)\lor\gamma\in\mathbb{Z}\\ & \Leftrightarrow-\pi<\Arg\alpha+\Arg\beta\leq\pi\lor\gamma\in\mathbb{Z} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。

補足

一般的に
\[ \pv\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}\ne\pv\alpha^{\gamma}\pv\beta^{\gamma} \] となります。
何故なら、
\begin{align*} \pv\left(\alpha\beta\right)^{\gamma} & =e^{\gamma\Log\left(\alpha\beta\right)}\\ & \ne e^{\gamma\left(\Log\alpha+\Log\beta\right)}\\ & =e^{\gamma\Log\alpha}e^{\gamma\Log\beta}\\ & =\pv\alpha^{\gamma}\pv\beta^{\gamma} \end{align*} となるからです。
反例は\(\alpha=\beta=-1,\gamma=\frac{1}{2}\)とすると左辺は\(\pv\left(-1\cdot-1\right)^{\frac{1}{2}}=\pv1^{\frac{1}{2}}=\pv1=1\)となるが、右辺は\(\pv\left(-1\right)^{\frac{1}{2}}\pv\left(-1\right)^{\frac{1}{2}}=\pv i\pv i=i^{2}=-1\)となるので、一般的に\(\pv\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}\ne\pv\alpha^{\gamma}\pv\beta^{\gamma}\)となります。

(2)

\begin{align*} \frac{\pv\alpha^{\gamma}}{\pv\beta^{\gamma}} & =\pv\alpha^{\gamma}\pv\beta^{-\gamma}\\ & =e^{\gamma\Log\alpha}e^{-\gamma\Log\beta}\\ & =e^{\gamma\left(\Log\alpha-\Log\beta\right)}\\ & =e^{\gamma\left(\Log\frac{\alpha}{\beta}+2\pi i\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\right)}\\ & =e^{\gamma\left(\Log\frac{\alpha}{\beta}+2\pi i\left(\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\right)\right)}\\ & =e^{\gamma\Log\frac{\alpha}{\beta}+2\pi i\gamma\left(\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\right)}\\ & =\pv\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{\gamma}e^{2\pi i\gamma\left(\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\right)} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \frac{\pv\alpha^{\gamma}}{\pv\beta^{\gamma}}=\pv\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{\gamma} & \Leftrightarrow1=e^{2\pi i\gamma\left(\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\right)}\\ & \Leftrightarrow\gamma\left(\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\right)\in\mathbb{Z}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}=0 & \gamma\notin\mathbb{Z}\\ \top & \gamma\in\mathbb{Z} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)=0 & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ \mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\pi\right)-1=0 & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)=\pi\\ \top & \gamma\in\mathbb{Z} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha-\Arg\beta\right)=0 & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ \mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\pi\right)=1 & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)=\pi\\ \top & \gamma\in\mathbb{Z} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ \pi<\Arg\alpha+\pi & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)=\pi\\ \top & \gamma\in\mathbb{Z} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ 0<\Arg\alpha & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)=\pi\\ \top & \gamma\in\mathbb{Z} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ 0<\Arg\alpha\leq2\pi & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)=\pi\\ \top & \gamma\in\mathbb{Z} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ -\pi<\Arg\alpha-\pi\leq\pi & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)=\pi\\ \top & \gamma\in\mathbb{Z} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \gamma\notin\mathbb{Z}\land\Arg\left(\beta\right)=\pi\\ \top & \gamma\in\mathbb{Z} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \gamma\notin\mathbb{Z}\\ \top & \gamma\in\mathbb{Z} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\left(-\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi\land\gamma\notin\mathbb{Z}\right)\lor\gamma\in\mathbb{Z}\\ & \Leftrightarrow-\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi\lor\gamma\in\mathbb{Z} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。

(3)

\begin{align*} \pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma} & =e^{\beta\Log\alpha}e^{\gamma\Log\alpha}\\ & =e^{\left(\beta+\gamma\right)\Log\alpha}\\ & =\pv\alpha^{\beta+\gamma} \end{align*}

(4)

\begin{align*} \pv\left(\pv\alpha^{\beta}\right)^{\gamma} & =e^{\gamma\Log\alpha^{\beta}}\\ & \ne e^{\gamma\beta\Log\alpha}\\ & =\pv\alpha^{\beta\gamma} \end{align*}

例

\(\alpha=-1,\beta=2,\gamma=\frac{1}{2}\)とすると左辺は\(\pv\left(\pv\left(-1\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\pv\left(1\right)^{\frac{1}{2}}=\pv\left(1\right)=1\)となるが、右辺は\(\pv\left(-1\right)^{2\cdot\frac{1}{2}}=\pv\left(-1\right)=-1\)となるので、一般的に\(\pv\left(\pv\alpha^{\beta}\right)^{\gamma}\ne\pv\alpha^{\beta\gamma}\)となる。

(5)

\(\Rightarrow\)

\(\pv\left(\pv\alpha^{\beta}\right)^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta\gamma}\)が成り立つとき、
\[ \pv\left(\pv\alpha^{\beta}\right)^{\gamma}=e^{\gamma\Log\alpha^{\beta}} \] \[ \pv\alpha^{\beta\gamma}=e^{\gamma\beta\Log\alpha} \] より、
\[ e^{\gamma\Log\alpha^{\beta}}=e^{\gamma\beta\Log\alpha} \] となるので、
\[ \Log\alpha^{\beta}=\beta\Log\alpha \] となり、任意の\(\alpha\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} \)について成り立つには、
\[ \forall\alpha\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} ,\Log\alpha^{\beta}=\beta\Log\alpha\Leftrightarrow-1<\beta\leq1 \] となる。
これより、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

条件より、\(-1<\beta\leq1\)であり、
\[ \forall\alpha\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} ,\Log\alpha^{\beta}=\beta\Log\alpha\Leftrightarrow-1<\beta\leq1 \] が成り立つので、
\begin{align*} \pv\left(\pv\alpha^{\beta}\right)^{\gamma} & =e^{\gamma\Log\alpha^{\beta}}\\ & =e^{\gamma\beta\Log\alpha}\cmt{\because\forall\alpha\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} ,\Log\alpha^{\beta}=\beta\Log\alpha\Leftrightarrow-1<\beta\leq1}\\ & =\pv\alpha^{\beta\gamma} \end{align*} となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(6)

\begin{align*} \pv\left(\pv\alpha^{\beta}\right)^{n} & =e^{n\Log\pv\alpha^{\beta}}\\ & =\exists_{1}m\in\mathbb{Z}\;,\;e^{n\left(\beta\Log\alpha+2\pi im\right)}\\ & =e^{n\beta\Log\alpha}\\ & =\pv\alpha^{n\beta} \end{align*}

(7)

\begin{align*} \pv\left(\pv\alpha^{-1}\right)^{\gamma} & =e^{\gamma\Log\left(\left|\alpha^{-1}\right|e^{i\Arg\alpha^{-1}}\right)}\\ & =e^{\gamma\left(\ln\left|\alpha\right|^{-1}+i\Arg e^{i\Arg\alpha^{-1}}\right)}\\ & =\exists_{1}n\in\mathbb{Z}\;,\;e^{\gamma\left(\ln\left|\alpha\right|^{-1}+i\Arg e^{i\left(-\Arg\alpha+n\Arg1\right)}\right)}\\ & =e^{\gamma\left(\ln\left|\alpha\right|^{-1}+i\Arg e^{-i\Arg\alpha}\right)}\\ & \ne e^{-\gamma\left(\ln\left|\alpha\right|+i\Arg\alpha\right)}\\ & =e^{-\gamma\Log\alpha}\\ & =\pv\alpha^{-\gamma} \end{align*}

例

\(\alpha=-1,\gamma=\frac{1}{2}\)とすると左辺は\(\pv\left(\pv\left(-1\right)^{-1}\right)^{\frac{1}{2}}=\pv\left(-1\right)^{\frac{1}{2}}=i\)となるが、右辺は\(\pv\left(-1\right)^{-\frac{1}{2}}=\pv e^{-\frac{1}{2}\Log\left(-1\right)}=\pv e^{-\frac{\pi}{2}i}=-i\)となるので、一般的に\(\pv\left(\pv\alpha^{-1}\right)^{\gamma}\ne\pv\alpha^{-\gamma}\)となる。

(8)

\begin{align*} \pv\frac{1}{\pv\alpha^{\gamma}} & =\pv\left(\pv\alpha^{\gamma}\right)^{-1}\\ & =\pv\alpha^{-\gamma}\cmt{\because-1\in\mathbb{Z}} \end{align*}

(1)

\begin{align*} \mv\left(\alpha\beta\right)^{\gamma} & =e^{\gamma\log\left(\alpha\beta\right)}\\ & =e^{\gamma\left(\log\alpha+\log\beta\right)}\\ & =e^{\gamma\left(\Log\alpha+\log1+\Log\beta+\log1\right)}\\ & =e^{\gamma\left(\Log\alpha+\Log\beta+\log1\right)}\\ & =e^{\gamma\Log\alpha}e^{\gamma\Log\beta}e^{\gamma\log1}\\ & =\pv\alpha^{\gamma}\pv\beta^{\gamma}\mv1^{\gamma} \end{align*} \begin{align*} \mv\left(\alpha\beta\right)^{\gamma} & =e^{\gamma\log\left(\alpha\beta\right)}\\ & =e^{\gamma\left(\log\alpha+\log\beta\right)}\\ & =e^{\gamma\log\alpha}e^{\gamma\log\beta}\\ & =\mv\alpha^{\gamma}\mv\beta^{\gamma} \end{align*} \begin{align*} \mv\left(\alpha\beta\right)^{\gamma} & =\pv\alpha^{\gamma}\pv\beta^{\gamma}\mv1^{\gamma}\\ & =\pv\alpha^{\gamma}\mv1^{\gamma}\pv\beta^{\gamma}\\ & =\mv\alpha^{\gamma}\pv\beta^{\gamma} \end{align*} 同様に\(\mv\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\pv\alpha^{\gamma}\mv\beta^{\gamma}\)となる。

(2)

\begin{align*} \mv\alpha^{\beta}\mv\alpha^{\gamma} & =e^{\beta\log\alpha}e^{\gamma\log\alpha}\\ & =e^{\beta\left(\Log\alpha+\log1\right)}e^{\gamma\left(\Log\alpha+\log1\right)}\\ & =e^{\left(\beta+\gamma\right)\Log\alpha+\beta\log1+\gamma\log1}\\ & =\pv\alpha^{\beta+\gamma}\mv1^{\beta}\mv1^{\gamma} \end{align*} \begin{align*} \mv\alpha^{\beta}\mv\alpha^{\gamma} & =e^{\beta\log\alpha}e^{\gamma\log\alpha}\\ & =e^{\beta\left(\Log\alpha+\log1\right)}e^{\gamma\left(\Log\alpha+\log1\right)}\\ & =e^{\left(\beta+\gamma\right)\Log\alpha+\beta\log1+\gamma\log1}\\ & =e^{\left(\beta+\gamma\right)\Log\alpha+\beta\log1+\left(\beta+\gamma\right)\log1}\\ & =e^{\left(\beta+\gamma\right)\log\alpha+\beta\log1}\\ & =\mv\alpha^{\beta+\gamma}\mv1^{\beta} \end{align*} 同様に、\(\mv\alpha^{\beta}\mv\alpha^{\gamma}=\mv\alpha^{\beta+\gamma}\mv1^{\gamma}\)となる。

(3)

\begin{align*} \mv\alpha^{\beta}\mv\alpha^{n} & =\mv\alpha^{\beta+n}\mv1^{n}\cmt{\text{(2)より}}\\ & =\mv\alpha^{\beta+n} \end{align*}

(4)

\begin{align*} \mv\left(\mv\alpha^{\beta}\right)^{\gamma} & =e^{\gamma\log\alpha^{\beta}}\\ & =e^{\gamma\left(\beta\log\alpha+\log1\right)}\\ & =e^{\beta\gamma\log\alpha+\gamma\log1}\\ & =\mv\alpha^{\beta\gamma}\mv1^{\gamma} \end{align*}

(5)

\begin{align*} \mv\left(\mv\alpha^{\beta}\right)^{n} & =\mv\alpha^{\beta n}\mv1^{n}\cmt{\text{(4)より}}\\ & =\mv\alpha^{n\beta} \end{align*}

(6)

\begin{align*} \mv\left(\mv\alpha^{\frac{1}{n}}\right)^{\beta} & =\mv\alpha^{\frac{\beta}{n}}\mv1^{\beta}\cmt{\text{(4)より}}\\ & =e^{\frac{\beta}{n}\log\alpha+\beta\log1}\\ & =e^{\beta\left(\frac{1}{n}\log\alpha+\log1\right)}\\ & =e^{\beta\left(\frac{1}{n}\log\alpha\right)}\\ & =\mv\alpha^{\frac{\beta}{n}} \end{align*}

(7)

\begin{align*} \mv\left(\alpha^{\beta}\right) & =e^{\beta\log\left(\alpha\right)}\\ & =e^{\beta\left(\Log\left(\alpha\right)+\log1\right)}\\ & =e^{\beta\Log\left(\alpha\right)+\beta\log1}\\ & =\pv\left(\alpha^{\beta}\right)\mv1^{\beta} \end{align*}