距離空間での有界列の定義
距離空間での有界列の定義
距離空間\(\left(X,d\right)\)で点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が与えられたとき、ある\(M>0\)とある\(a\in X\)があり、任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(x_{n},a\right)\leq M\)が成り立つとき、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界列という。
すなわち、部分集合\(\left\{ x_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)が有界なことである。
距離空間\(\left(X,d\right)\)で点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が与えられたとき、ある\(M>0\)とある\(a\in X\)があり、任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(x_{n},a\right)\leq M\)が成り立つとき、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界列という。
すなわち、部分集合\(\left\{ x_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)が有界なことである。
通常距離で考える。
点列\(\left(\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(\left(-1\right)^{n},0\right)\leq1\)となるので有界列である。
点列\(\left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(M>0\)、任意の\(a\in\mathbb{R}\)に対し、\(n=M+a+1\)ととれば\(d\left(n,a\right)>M\)となるので有界列ではない。
点列\(\left(\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(n\in\mathbb{N}\)で\(d\left(\left(-1\right)^{n},0\right)\leq1\)となるので有界列である。
点列\(\left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は任意の\(M>0\)、任意の\(a\in\mathbb{R}\)に対し、\(n=M+a+1\)ととれば\(d\left(n,a\right)>M\)となるので有界列ではない。
ページ情報
| タイトル | 距離空間での有界列の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/qqq2acf4/ |
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距離空間での収束の定義と開集合による別定義
\[
\exists a\in X,\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon
\]
距離空間での連続を開近傍を使って表現
\[
\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)
\]
距離空間の定義
\[
d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right)
\]
集合同士が交わるならば距離は0
\[
A\cap B\ne\emptyset\Rightarrow d\left(A,B\right)=0
\]