集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義
集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義
\[ A\in\mathcal{A}\Leftrightarrow\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A} \] となるとき\(\mathcal{A}\)は有限性をもつという。
つまり、半順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)があり、任意の全順序部分集合\(\left(C,\preceq\right)\)について、\(X\)での上界をもつとき、帰納的順序集合という。
(1)集合族の有限性
集合族\(\mathcal{A}\)が\[ A\in\mathcal{A}\Leftrightarrow\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A} \] となるとき\(\mathcal{A}\)は有限性をもつという。
(2)鎖(チェイン)
半順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)の部分集合\(C\subseteq X\)が\(\preceq\)に関して全順序となるとき、すなわち全順序部分集合\(\left(C,\preceq\right)\)となるとき、\(C\)は\(X\)の鎖(チェイン)という。(3)帰納的順序集合
半順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)の任意の鎖\(C\)が\(X\)に上界をもつとき\(\left(X,\preceq\right)\)を帰納的順序集合という。つまり、半順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)があり、任意の全順序部分集合\(\left(C,\preceq\right)\)について、\(X\)での上界をもつとき、帰納的順序集合という。
集合族\(\mathcal{A}\)が有限性をもつとき、\(\mathcal{A}=\emptyset\)または\(\emptyset\in\mathcal{A}\)となる。
なぜなら\(\mathcal{A}\ne\emptyset\)のとき、
\begin{align*} \mathcal{A}\ne\emptyset & \Leftrightarrow\exists A,A\in\mathcal{A}\\ & \Leftrightarrow\exists A,\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A}\\ & \Rightarrow\exists A,\emptyset\subseteq A,\left|\emptyset\right|<\infty\rightarrow\emptyset\in\mathcal{A}\\ & \Leftrightarrow\emptyset\in\mathcal{A} \end{align*} となるので、\(\mathcal{A}=\emptyset\)または\(\emptyset\in\mathcal{A}\)となる。
なぜなら\(\mathcal{A}\ne\emptyset\)のとき、
\begin{align*} \mathcal{A}\ne\emptyset & \Leftrightarrow\exists A,A\in\mathcal{A}\\ & \Leftrightarrow\exists A,\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A}\\ & \Rightarrow\exists A,\emptyset\subseteq A,\left|\emptyset\right|<\infty\rightarrow\emptyset\in\mathcal{A}\\ & \Leftrightarrow\emptyset\in\mathcal{A} \end{align*} となるので、\(\mathcal{A}=\emptyset\)または\(\emptyset\in\mathcal{A}\)となる。
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集合族の有限性で\(\Rightarrow\)が成り立っているが\(\Leftarrow\)が成り立ってない例は、\(\mathcal{A}=\left\{ X;X\in2^{\mathbb{N}},\left|X\right|<\infty\right\} \)とすると、\(\Rightarrow\)は成り立っているが\(A=\mathbb{N}\)や\(A=\mathbb{N}\setminus\left\{ 1\right\} \)とすると右辺は成り立つが\(A\notin\mathcal{A}\)なので\(\Leftarrow\)は成り立っていない。(1)
\(\left\{ \emptyset\right\} \)は有限性を持つ。\(2^{\mathbb{N}}\text{は}\)有限性を持つ
集合\(A\)があるとき、\(2^{A}\)は有限性を持つ。
集合\(A,B\)があるとき、\(2^{A}\cup2^{B}\)は有限性を持つ。
\(\left\{ A;A\in2^{\mathbb{N}},\left|A\right|<\infty\right\} \text{は}\)有限性を持たない。
\(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\emptyset\right\} \)は有限性を持つ。
\(\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\emptyset\right\} \)は有限性を持つ。
\(\left\{ \left\{ \left\{ a,b\right\} ,c\right\} ,\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} ,\left\{ c\right\} ,\emptyset\right\} \)は有限性を持つ
\(\left\{ \left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\emptyset\right\} \)は有限性を持つ。
\(\left\{ \left\{ \left\{ a,b\right\} ,c\right\} ,\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} ,\left\{ c\right\} ,\emptyset\right\} \)は有限性を持つ。
(2)
集合族\(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)に大小関係を包含関係\(\subseteq\)とすると\(\left(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,\subseteq\right)\)は半順序集合となる。このとき、部分集合\(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \subseteq\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)をとると\(\subseteq\)に関して全順序部分集合\(\left(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,\subseteq\right)\)となるので\(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)は\(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)の鎖となる。
(3)
\(\left(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,\subseteq\right)\)の鎖は\(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)と\(\left\{ \left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)と\(\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)と\(\left\{ \left\{ b\right\} \right\} \)と\(\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \)であるが、どれも上界を持つので帰納的順序集合となる。\(\left(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} \right\} ,\subseteq\right)\)の鎖は\(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)と\(\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)と\(\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \)と\(\left\{ \left\{ b,c\right\} \right\} \)であるが、どれも上界を持つので帰納的順序集合となる。
\(\left(\left[0,1\right],\leq\right)\)は帰納的順序集合である。
\(\left(\left(0,1\right),\leq\right)\)は全順序集合\(\left(0,1\right)\)は全体集合\(\left(0,1\right)\)上に上界が存在しないので帰納的順序集合でない。
有限半順序集合は大小関係を包含関係\(\subseteq\)とすると帰納的順序集合である。
ページ情報
| タイトル | 集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義 |
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X\left\langle a\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec a\right\}
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X\left\langle \min X\right\rangle =\emptyset
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