\(1,2,\cdots,n\)の\(n\)個の交代順列を\(a_{n}\)とする。
この\(n\)個から\(k\)個を選ぶ方法は\(C\left(n,k\right)\)通りあり、それを交代順列\(u=\left(u_{1},u_{2},\cdots,u_{k}\right)\)に並べる方法は\(a_{k}\)通りとなり、残りの\(n-k\)個を交代順列\(v=\left(v_{1},v,\cdots,v_{n-k}\right)\)に並べる方法は\(a_{n-k}\)通りある。
このとき、\(n+1\)個の順列\(\left(u_{k},u_{k-1},\cdots,u_{1},n+1,v_{1},v_{2},\cdots,v_{n-k}\right)\)は\(k\)が奇数なら交代順列で偶数なら逆交代順列になっている。
この順列により\(n+1\)個の順列は全て表すことができ、全て合わせるとで交代順列と逆交代順列の和になり、交代順列と逆交代順列の個数は等しいので交代順列の2倍となる。
従って\(k\)について0から\(n\)まで\(C\left(n,k\right)a_{k}a_{n-k}\)の和をとれば交代順列の2倍となる。
すなわち、\(n\in\mathbb{N}\)として
\[ 2a_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)a_{k}a_{n-k} \] となる。
このとき、\(n=1\)とすると、
\begin{align*} 2a_{2} & =\sum_{k=0}^{1}C\left(1,k\right)a_{k}a_{1-k}\\ & =C\left(1,0\right)a_{0}a_{1}+C\left(1,1\right)a_{1}a_{0}\\ & =2a_{0}a_{1} \end{align*} となり\(a_{1}=1,a_{2}=1\)なので\(a_{0}=1\)である。
\(n=0\)のときは\(2=2a_{1}=a_{0}^{2}=1\)となり正しくないので、右辺に\(\delta_{0,n}\)を足して、
\[ 2a_{n+1}=\delta_{0,n}+\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)a_{k}a_{n-k} \] とすれば\(n\in\mathbb{N}_{0}\)に対して成り立つ。
母関数を
\[ f\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{x^{k}}{k!} \] とおくと、
\begin{align*} 2\sum_{j=0}^{\infty}a_{j+1}\frac{x^{j}}{j!} & =\sum_{j=0}^{\infty}\delta_{0,j}\frac{x^{j}}{j!}+\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j}C\left(j,k\right)a_{k}a_{j-k}\frac{x^{j}}{j!}\\ & =1+\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}C\left(j+k,k\right)a_{k}a_{j}\frac{x^{j+k}}{\left(j+k\right)!}\\ & =1+\sum_{j=0}^{\infty}\frac{a_{j}}{j!}x^{j}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k!}x^{k}\\ & =1+f^{2}\left(x\right) \end{align*} となり、左辺は
\begin{align*} 2\sum_{j=0}^{\infty}a_{j+1}\frac{x^{j}}{j!} & =2\frac{d}{dx}\sum_{j=0}^{\infty}a_{j+1}\frac{x^{j+1}}{\left(j+1\right)!}\\ & =2\frac{d}{dx}\sum_{j=1}^{\infty}a_{j}\frac{x^{j}}{j!}\\ & =2\frac{d}{dx}\sum_{j=0}^{\infty}a_{j}\frac{x^{j}}{j!}\\ & =2f'\left(x\right) \end{align*} となるので、
\[ 2\frac{df\left(x\right)}{dx}=1+f^{2}\left(x\right) \] となる。
これは変数分離形なので、
\[ \frac{df}{1+f^{2}}=\frac{1}{2}dx \] となり、積分すると、
\[ \tan^{\bullet}f\left(x\right)=\frac{1}{2}x+C \] となり、\(f\left(0\right)=a_{0}=1\)なので\(C=\frac{\pi}{4}\)となる。
これより\(f\left(x\right)\)を求めると、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\tan\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4}\right)\\ & =\frac{\tan\left(\frac{1}{2}x\right)+1}{1-\tan\left(\frac{1}{2}x\right)}\\ & =\frac{\cos\left(\frac{1}{2}x\right)+\sin\left(\frac{1}{2}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}x\right)-\sin\left(\frac{1}{2}x\right)}\\ & =\frac{\left(\cos\left(\frac{1}{2}x\right)+\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right)\left(\cos\left(\frac{1}{2}x\right)+\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right)}{\left(\cos\left(\frac{1}{2}x\right)-\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right)\left(\cos\left(\frac{1}{2}x\right)+\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right)}\\ & =\frac{\left(\cos\left(\frac{1}{2}x\right)+\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right)^{2}}{\cos^{2}\left(\frac{1}{2}x\right)-\sin^{2}\left(\frac{1}{2}x\right)}\\ & =\frac{1+2\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\cos\left(\frac{1}{2}x\right)}{\cos x}\\ & =\frac{1+\sin x}{\cos x}\\ & =\tan x+\cos^{-1}x \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{x^{k}}{k!} & =f\left(x\right)\\ & =\tan x+\cos^{-1}x\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\hat{T}_{k}}{k!}x^{k} \end{align*} となるので係数を比較して、
\[ a_{k}=\hat{T}_{k} \] となる。