ブレートシュナイダーの公式

ブレートシュナイダーの公式
反時計まわりに4角形\(ABCD\)がある。

各辺の長さを\(\left|\overrightarrow{AB}\right|=a,\left|\overrightarrow{BC}\right|=b,\left|\overrightarrow{CD}\right|=C,\left|\overrightarrow{DA}\right|=d\)として、半周長を\(s=\frac{a+b+c+d}{2}\)とすると4角形\(ABCD\)の面積\(S\)は、
\[ S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}} \] となる。

\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=p,\left|\overrightarrow{BD}\right|=p\)とおく。
\begin{align*} S & =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right)\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{AC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DB}\right|^{2}-\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{AC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DB}\right|^{2}-\left(\overrightarrow{AC}\cdot\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}\right)\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{AC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DB}\right|^{2}-\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{AC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DB}\right|^{2}-\left(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\cdot\overrightarrow{DC}+\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)\cdot\overrightarrow{CB}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{AC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DB}\right|^{2}-\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{AC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DB}\right|^{2}-\left(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{AC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DB}\right|^{2}-\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\right|^{2}-\left|\overrightarrow{AD}\right|^{2}-\left|\overrightarrow{CB}\right|^{2}-\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4\left|\overrightarrow{AC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DB}\right|^{2}-\left(\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}-\left|\overrightarrow{AD}\right|^{2}-\left|\overrightarrow{CB}\right|^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4\left(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right)\right)-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4\left(\left(ac+bd\right)^{2}-2abcd\left(1+\cos\left(A+C\right)\right)\right)-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{4\left(\left(ac+bd\right)^{2}-4abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}\right)-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(2ac+2bd\right)^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}-16abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(2ac+2bd+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)\left(2ac+2bd-a^{2}-c^{2}+b^{2}+d^{2}\right)-16abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(\left(a+c\right)^{2}-\left(b-d\right)^{2}\right)\left(\left(b+d\right)^{2}-\left(a-c\right)^{2}\right)-16abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+c+b-d\right)\left(a+c-b+d\right)\left(b+d+a-c\right)\left(b+d-a+c\right)-16abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{\left(2s-2d\right)\left(2s-2b\right)\left(2s-2c\right)\left(2s-2a\right)-16abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\\ & =\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}} \end{align*}