(1)

まず、1日目に2の箱を確認する。
猫がいない場合は2の箱に猫がいないことがわかる。
2日目は1の箱にいる可能性はないので3の箱を確認する。
猫がいない場合は1,3の箱に猫がいないことがわかる。
3日目は2の箱に猫がいる可能性がないので4の箱を確認する。
猫がいない場合は2,4の箱に猫がいないことがわかる。
今日は偶数の箱にいる可能性がないので次の日以降は奇数の箱、偶数の箱と交互に猫がいる可能性がなくなる。
4日目は1,3,5の箱に猫がいないので4の箱を確認する。
猫がいない場合は1,3,4,5の箱に猫がいないことがわかる。
5日目は2,4,5の箱にいる可能性がないので3の箱を確認する。
猫がいない場合は2,3,4,5の箱に猫がいないことがわかる。
6日目は1,3,4,5の箱にねこがいる可能性がないので2の箱に猫が必ずいることになる。
これより、6日目までに猫を見つけることができる。

-

猫がいる可能性のある箱を「？」で表し、調べる箱を「○」で表し、いる可能性がない箱を「×」で表すと次のようになる。
1日目：？○？？？
2日目：×？○？？
3日目：？×？○？
4日目：×？×○×
5日目：？×○××
6日目：×？×××

(2)

\(n=1\)のとき

箱は1つしかないので、1日目の1の箱に必ず猫がいる。

\(n=2\)のとき

1日目で1の箱を確認する。
見つけれなければ2の箱に猫がいて、2日目には1の箱に移動するしかないので2日目も1の箱を確認すれば必ず猫がいる。

\(3\leq n\)のとき

まず1日目から\(n-2\)日目まで\(2,3,\cdots,n-2,n-1\)と箱を確認していく。
\(m_{1}\)を自然数する。
\(2m_{1}-1\)日目に猫が見つかってないときは\(2,4,\cdots,2\left(m_{1}-1\right),2m_{1}\)の箱にいないことがわかる。
\(2m_{1}\)日目に猫が見つかってないときは\(1,3,\cdots,2\left(m_{1}-1\right)+1,2m_{1}+1\)の箱にいないことがわかる。
\(n-2\)日目の確認後には\(n\)が奇数なら偶数の箱に猫はいなくて、\(n\)が偶数なら奇数の箱に猫がいないことがわかる。
\(n-1\)日目からは\(n-1,n-2,\cdots,3,2\)と箱を確認していく。
\(m_{2}\)を自然数する。
\(2m_{2}-1+n-2=2m_{2}+n-3\)日目に猫が見つかってないときは\(n-2\)日目から\(2m_{2}-1\)日経っているので、\(n\)の奇遇と同じ奇遇の箱と\(n-2m_{2}+1,n-2\left(m_{2}-1\right)+1,\cdots,n-3,n-1\)の箱にいないことがわかる。
\(2m_{2}+n-2\)日目に猫が見つかってないときは\(n-2\)日目から\(2m_{2}\)日経っているので、\(n\)の奇遇と逆の奇遇の箱と\(n-2m_{2},n-2\left(m_{2}-1\right),\cdots,n-2,n\)の箱にいないことがわかる。
\(2n-4\)日目の確認前には2の箱以外にいないことがわかるので2の箱に必ず猫がいる。
これより、\(2n-4\)日目までに猫を見つけることができる。

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これらより、次のようになる。
\(n=1\)のとき1日で必ず見つかる。
\(n=2\)のとき2日で必ず見つかる。
\(3\leq n\)のとき\(2n-4\)日で必ず見つかる。

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\(3\leq n\)のときはまとめると次のようになる。
\(m\leq n-2\)日目では\(m\)が奇数のときは\(2,4,6,\cdots,m-1\)に猫がいないことが分かっていて\(m\)が偶数のときは\(1,3,5,\cdots,m-1\)に猫がいないことが分かっていて\(m+1\)番目の箱を調べることになる
\(m\geq n-1\)日目では\(m\)の偶奇と逆の箱には猫がいなく、\(2n-m-1\)番目以降の箱にもいなく、\(2n-m-2\)の箱を調べることになる。

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\(3\leq n\)のとき、具体的にどのような状態なのかは次のようになっている。
箱を数字で表し、「？」は猫がいる可能性がある箱で「×」は猫がいない箱で、「○」は開ける箱を表すとする。
1日目：\(1_{?}2_{?\circ}3_{?}4_{?}5_{?}6_{?}\cdots\left(n-1\right)_{?}n_{?}\)
2日目：\(1_{\times}2_{?}3_{?\circ}4_{?}5_{?}6_{?}\cdots\left(n-1\right)_{?}n_{?}\)
3日目：\(1_{?}2_{\times}3_{?}4_{?\circ}5_{?}6_{?}\cdots\left(n-1\right)_{?}n_{?}\)
4日目：\(1_{\times}2_{?}3_{\times}4_{?}5_{?\circ}6_{?}\cdots\left(n-1\right)_{?}n_{?}\)
5日目：\(1_{?}2_{\times}3_{?}4_{\times}5_{?}6_{?\circ}\cdots\left(n-1\right)_{?}n_{?}\)
\(2m_{1}-1\)日目：\(1_{?}2_{\times}3_{?}4_{\times}5_{?}6_{\times}\cdots2\left(m_{1}-1\right)_{\times}\left(2m_{1}-1\right)_{?}\left(2m_{1}\right)_{?\circ}\cdots\left(n-1\right)_{?}n_{?}\)
\(2m_{1}\)日目：\(1_{\times}2_{?}3_{\times}4_{?}5_{\times}6_{?}\cdots\left(2m_{1}-1\right)_{\times}\left(2m_{1}\right)_{?}\left(2m_{1}+1\right)_{?\circ}\cdots\left(n-1\right)_{?}n_{?}\)
\(n-2\)日目(n:奇数)：\(1_{?}2_{\times}3_{?}4_{\times}5_{?}6_{\times}\cdots\left(2m_{1}-1\right)_{?}\left(2m_{1}\right)_{\times}\left(2m_{1}+1\right)_{?}\cdots\left(n-2\right)_{?}\left(n-1\right)_{?\circ}n_{?}\)
\(n-2\)日目(n:偶数)：\(1_{\times}2_{?}3_{\times}4_{?}5_{\times}6_{?}\cdots\left(2m_{1}-1\right)_{\times}\left(2m_{1}\right)_{?}\left(2m_{1}+1\right)_{\times}\cdots\left(n-2\right)_{?}\left(n-1\right)_{?\circ}n_{?}\)
\(n-1\)日目(n:奇数)：\(1_{\times}2_{?}3_{\times}4_{?}5_{\times}6_{?}\cdots\left(2m_{1}-1\right)_{\times}\left(2m_{1}\right)_{?}\left(2m_{1}+1\right)_{\times}\cdots\left(n-2\right)_{\times}\left(n-1\right)_{?\circ}n_{\times}\)
\(n-1\)日目(n:偶数)：\(1_{?}2_{\times}3_{?}4_{\times}5_{?}6_{\times}\cdots\left(2m_{1}-1\right)_{?}\left(2m_{1}\right)_{\times}\left(2m_{1}+1\right)_{?}\cdots\left(n-2\right)_{\times}\left(n-1\right)_{?\circ}n_{\times}\)
\(2m_{2}-1+n-2=2m_{2}+n-3\)日目(n:奇数)：\(1_{\times}2_{?}3_{\times}4_{?}5_{\times}6_{?}\cdots\left(n-2m_{2}\right)_{\times}\left(n-2m_{2}+1\right)_{?\circ}\left(n-2m_{2}+2\right)_{\times}\cdots\left(n-1\right)_{\times}n_{\times}\)
\(2m_{2}-1+n-2=2m_{2}+n-3\)日目(n:偶数)：\(1_{?}2_{\times}3_{?}4_{\times}5_{?}6_{\times}\cdots\left(n-2m_{2}\right)_{\times}\left(n-2m_{2}+1\right)_{?\circ}\left(n-2m_{2}+2\right)_{\times}\cdots\left(n-1\right)_{\times}n_{\times}\)
\(2m_{2}+n-2\)日目(n:奇数)：\(1_{?}2_{\times}3_{?}4_{\times}5_{?}6_{\times}\cdots\left(n-2m_{2}-1\right)_{\times}\left(n-2m_{2}\right)_{?\circ}\left(n-2m_{2}+1\right)_{\times}\cdots\left(n-1\right)_{\times}n_{\times}\)
\(2m_{2}+n-2\)日目(n:偶数)：\(1_{\times}2_{?}3_{\times}4_{?}5_{\times}6_{?}\cdots\left(n-2m_{2}-1\right)_{\times}\left(n-2m_{2}\right)_{?\circ}\left(n-2m_{2}+1\right)_{\times}\cdots\left(n-1\right)_{\times}n_{\times}\)
\(2n-4\)日目：\(1_{\times}2_{?\circ}3_{\times}4_{\times}5_{\times}6_{\times}\cdots\left(n-2m_{2}-1\right)_{\times}\left(n-2m_{2}\right)_{\times}\left(n-2m_{2}+1\right)_{\times}\cdots\left(n-1\right)_{\times}n_{\times}\)
となるので\(2n-4\)日で全ての箱の猫の確認が終わる。