距離空間ならば正規空間

by nomura · 2023年7月7日

距離空間ならば正規空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならば正規空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$である。
逆は一般的に成り立たない。
ここで$\mathcal{O}$は$\left(X,d\right)$の開集合全体の集合である。

$\Rightarrow$

互いに素な任意の閉集合$F_{1},F_{2}\in X,F_{1}\cap F_{2}=\emptyset$と任意の点$x\in X$に対し、$d\left(x,F_{1}\right)+d\left(x,F_{2}\right)>0$である。
ここで関数$f\left(x\right)$を
\[ f\left(x\right)=\frac{d\left(x,F_{1}\right)}{d\left(x,F_{1}\right)+d\left(x,F_{2}\right)} \] とすれば$d\left(x,F_{1}\right),d\left(x,F_{2}\right)$は$x$に関して連続で分母も0にならないので$f\left(x\right)$も連続となる。
$f\left(x\right)$は$0\leq f\left(x\right)\leq1$で$x\in F_{1}\leftrightarrow f\left(x\right)=0\Leftrightarrow F_{1}=\left\{ x;f\left(x\right)=0\right\} $となり$x\in F_{2}\leftrightarrow f\left(x\right)=1\Leftrightarrow F_{2}=\left\{ x;f\left(x\right)=1\right\} $となる。
また、$f\left(F_{1}\right)=\left\{ 0\right\} \Rightarrow f^{\bullet}f\left(F_{1}\right)=f^{\bullet}\left(\left\{ 0\right\} \right)\Rightarrow F_{1}\supseteq f^{\bullet}\left(\left\{ 0\right\} \right)$となり、明らかに$F_{1}\subseteq f^{\bullet}\left(\left\{ 0\right\} \right)$なので$F_{1}=f^{\bullet}\left(\left\{ 0\right\} \right)$となる。
同様に、$f\left(F_{2}\right)=\left\{ 1\right\} \Rightarrow f^{\bullet}f\left(F_{2}\right)=f^{\bullet}\left(\left\{ 1\right\} \right)\Rightarrow F_{2}\supseteq f^{\bullet}\left(\left\{ 1\right\} \right)$となり、明らかに$F_{2}\subseteq f^{\bullet}\left(\left\{ 1\right\} \right)$なので$F_{2}=f^{\bullet}\left(\left\{ 1\right\} \right)$となる。
ここで、$U_{1}=f^{\bullet}\left(\left[0,\frac{1}{2}\right)\right),U_{2}=f^{\bullet}\left(\left(\frac{1}{2},1\right]\right)$とおくと、$f$は連続より開集合の逆像は開集合であるので、開集合$U_{1},U_{2}\in\mathcal{O}$となる。
このとき、$F_{1}=f^{\bullet}\left(\left\{ 0\right\} \right)\subseteq f^{\bullet}\left(\left[0,\frac{1}{2}\right)\right)=U_{1},F_{2}=f^{\bullet}\left(\left\{ 1\right\} \right)\subseteq f^{\bullet}\left(\left(\frac{1}{2},1\right]\right)=U_{2}$となり$U_{1}\cap U_{2}=f^{\bullet}\left(\left[0,\frac{1}{2}\right)\right)\cap f^{\bullet}\left(\left(\frac{1}{2},1\right]\right)=f^{\bullet}\left(\left[0,\frac{1}{2}\right)\cap\left(\frac{1}{2},1\right]\right)=f^{\bullet}\left(\emptyset\right)=\emptyset$となるので$T_{4}$空間となる。
また、距離空間なので$T_{1}$空間である。
従って$T_{1}$空間かつ$T_{4}$空間なので正規空間となり、$\Rightarrow$が成り立つ。