(3)

\(\Rightarrow\)

条件より\(A\)は稠密なので\(A^{a}=X\)となり、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)について\(O\cap A=\emptyset\Leftrightarrow O\cap A^{a}=\emptyset\)が成り立つ。
これより、\(O\cap A=\emptyset\Leftrightarrow O\cap A^{a}=\emptyset\Leftrightarrow O\cap X=\emptyset\Leftrightarrow O=\emptyset\)となるので、対偶をとると、\(O\cap A\ne\emptyset\Leftrightarrow O\ne\emptyset\)となる。
従って、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)について\(O\ne\emptyset\)ならば\(O\cap A\ne\emptyset\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

対偶で示す。
\(A\)が稠密でないとき、ある開集合\(O\in\mathcal{O}\)が存在して\(O\ne\emptyset\)かつ\(O\cap A=\emptyset\)を満たすことを示せばよい。
\(A\)が稠密でないとき、\(A^{a}\ne X\)なので\(A^{ac}\ne X^{c}=\emptyset\)であり\(A^{ac}\)は閉集合\(A^{a}\)の補集合\(A^{ac}\)なので開集合である。
このとき、\(A^{ac}\cap A^{a}=\emptyset\)が成り立つので\(A^{ac}\cap A=\emptyset\)が成り立つ。
従って、\(A^{ac}\ne\emptyset\)かつ\(A^{ac}\cap A=\emptyset\)を満たし、\(A^{ac}\)は開集合であるので、ある開集合\(O\in\mathcal{O}\)が存在し、\(O\ne\emptyset\)かつ\(O\cap A=\emptyset\)を満たす。
従って、対偶が成り立つ。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(4)

反例で示す。
全体集合を実数全体の集合\(\mathbb{R}\)として、\(x\in\mathbb{R}\)の基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)を
\[ \mathcal{B}_{x}=\left\{ B_{n}\left(x\right);n\in\mathbb{N}\right\} \] \begin{align*} B_{n}\left(x\right) & =\begin{cases} \left\{ x\right\} & x\in\mathbb{Q}\\ \left\{ x\right\} \cup\left\{ \left(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}\right)\cap\mathbb{Q}\right\} & x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{cases} \end{align*} とする。
このとき、任意の実数\(r\in\mathbb{R}\)について、ある有理数\(q\in\mathbb{Q}\)が存在し、\(q\in\mathcal{B}_{r}\)となる。
これより、任意の実数\(x\in\mathbb{R}\)について、\(\mathcal{B}_{x}\cap\mathbb{Q}\ne\emptyset\)となり\(\mathbb{Q}^{a}=\mathbb{R}\)となるので\(\mathbb{R}\)上で\(\mathbb{Q}\)は稠密となり、\(\mathbb{Q}\)は可算なので\(\mathbb{R}\)は可分となる。
次に部分集合として無理数全体の集合\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\)をとり、部分位相を\(\left(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},\mathcal{O}_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}\right)\)とする。
このとき、任意の元\(x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)の近傍は
\begin{align*} B_{n}\left(x\right) & =\left(\left\{ x\right\} \cup\left\{ \left(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}\right)\cap\mathbb{Q}\right\} \right)\cap\left(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\right)\\ & =\left(\left\{ x\right\} \cap\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\right)\cup\left(\left(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}\right)\cap\mathbb{Q}\cap\left(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\right)\right)\\ & =\left\{ x\right\} \end{align*} となる。
ここで全体集合でない任意の部分集合\(A\subsetneq\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)について、\(\left\{ x\right\} \)は\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)での開集合であるので\(A^{c}=\bigcup_{x\in A^{c}}\left\{ x\right\} \)は開集合となり、\(A^{c}\)の補集合\(A^{cc}=A\)は閉集合となるので\(A^{a}=A\subsetneq\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)となる。
従って、\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)で\(A\)は稠密でない。
これより、\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)で稠密となるのは\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)のみとなり、\(\left|\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\right|=\aleph\)で非可算であるので\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)は可分でない。
故に位相空間が可分であってもその部分位相も可分であるとは限らない。

距離空間で可分ならば部分距離空間でも可分

距離空間で可分ならば、第2可算公理を満たし、第2可算公理を満たすとき部分距離空間でも第2可算公理を満たし、第2可算公理を満たすならば可分であるので、部分距離空間でも可分となる。
従って、距離空間で可分ならば部分距離空間でも可分となる。