稠密・可分空間の定義
稠密・可分空間の定義
また、\(X\)の空でない任意の開集合\(B\)に対し、\(A\cap B\ne\emptyset\)であることと同じである。
また、任意の元\(x\in X\)に対し、\(x\)を含む任意の近傍\(V_{x}\)が\(A\)の元を少なくとも1つ含むことと同じである。
すなわち\(x\)を含む近傍系を\(\mathcal{V}_{x}\)とおくと、
\[ A\subseteq X,\forall x\in X,\forall V_{x}\in\mathcal{V}_{x},\exists y\in A,y\in V_{x} \] となる。
言い換えると、位相空間が可算で稠密な部分集合をもつとき、\(X\)は可分空間である。
(1)稠密
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)とその部分集合\(A\subseteq X\)があるとき\(A\)の閉包が\(X\)に等しいとき、すなわち\(A^{a}=X\)となるとき、\(X\)上で\(A\)は稠密であるという。また、\(X\)の空でない任意の開集合\(B\)に対し、\(A\cap B\ne\emptyset\)であることと同じである。
また、任意の元\(x\in X\)に対し、\(x\)を含む任意の近傍\(V_{x}\)が\(A\)の元を少なくとも1つ含むことと同じである。
すなわち\(x\)を含む近傍系を\(\mathcal{V}_{x}\)とおくと、
\[ A\subseteq X,\forall x\in X,\forall V_{x}\in\mathcal{V}_{x},\exists y\in A,y\in V_{x} \] となる。
(2)可分空間
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が与えられたとき、ある部分集合\(A\subseteq X\)が存在し、稠密かつ濃度が高々可算すなわち可算部分集合\(\left|A\right|\leq\aleph_{0}\)を持つとき\(X\)を可分空間という。言い換えると、位相空間が可算で稠密な部分集合をもつとき、\(X\)は可分空間である。
\(X\)上で\(A\)が稠密であるとき、
\[ \forall a\in X,\exists\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a \] となる。
\[ \forall a\in X,\exists\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a \] となる。
稠密の例
\(\mathbb{R}\)上で有理数\(\mathbb{Q}\)の閉包は\(\mathbb{Q}^{a}=\mathbb{R}\)なので、\(\mathbb{R}\)上で\(\mathbb{Q}\)は稠密である。可分空間の例
\(\mathbb{R}\)上で有理数\(\mathbb{Q}\)は稠密かつ\(\left|\mathbb{Q}\right|=\aleph_{0}\)なので可算無限となるので、\(\mathbb{R}\)は可分空間となる。ページ情報
| タイトル | 稠密・可分空間の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/re6woev2/ |
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負数の剰余演算
\[
\mod\left(-x,a,b\right)=-\mod\left(x+2b,a,b\right)+a\left|\sgn\left\{ \mod\left(x+2b,a,b\right)-b\right\} \right|+2b
\]
連続コイントス(3回バージョン)
連結成分・弧状連結成分は最大の連結部分集合・弧状連結部分集合
最大値・最小値と絶対値の関係
\[
\min\left(-x,x\right)=-\left|x\right|
\]