極限と積分・微分の順序変更
極限と積分・微分の順序変更
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx \] すなわち、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
逆は一般的に成り立たない。
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}'\left(x\right)=f'\left(x\right) \] すなわち、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}f_{n}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right) \] が成り立つ。
(1)極限と積分の順序変更
閉区間\(\left[a,b\right]\)で連続な関数列\(f_{n}\left(x\right)\)が\(\left[a,b\right]\)上で\(f\)に一様収束すれば、\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx \] すなわち、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
逆は一般的に成り立たない。
(2)極限と微分の順序変更
閉区間\(\left[a,b\right]\)で\(C^{1}\)級の関数列\(f_{n}\left(x\right)\)が\([a,b]\)上で\(f\)に各点収束し、関数列\(f_{n}'\left(x\right)\)が一様収束すれば、\(f\)は\(C^{1}\)級になり、\[ \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}'\left(x\right)=f'\left(x\right) \] すなわち、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}f_{n}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right) \] が成り立つ。
極限と積分の順序変更が出来ない例
\begin{align*} f_{n}\left(x\right) & =n\cdot1_{\left(0,\frac{1}{n}\right]}\\ & =\begin{cases} n & 0<x\leq\frac{1}{n}\\ 0 & x\leq0,\frac{1}{n}<x \end{cases} \end{align*} とすると、\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}n\int_{0}^{\frac{1}{n}}dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}1\\ & =1 \end{align*} \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx & =\int_{-\infty}^{\infty}0dx\\ & =0 \end{align*} となるので
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx\ne\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx \] となり、極限と積分の順序変更が出来ない
極限と積分の順序変更が出来ない例-2
\begin{align*} f_{n}\left(x\right) & =1_{\left[n,n+1\right]}\\ & =\begin{cases} 1 & n\leq x\leq n+1\\ 0 & x<n,n<x \end{cases} \end{align*} とすると、\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{n}^{n+1}dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}1\\ & =1 \end{align*} \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx & =\int_{-\infty}^{\infty}0dx\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\infty}f_{n}\left(x\right)dx\ne\int_{0}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx \] となり、極限と積分の順序変更が出来ない。
(1)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx-\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right| & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|dx\\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}\sup_{a\leq x\leq b}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|dx\\ & =\left(b-a\right)\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{a\leq x\leq b}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\\ & =0\cmt{\because\text{一様収束}} \end{align*} これより、\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx \] が成り立つ。
\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
反例で示す。関数列\(f_{n}\left(x\right)=1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\)を考える。
この関数列は\(f\left(x\right)=0\)に各点収束するが、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,1\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,1\right]}\left|f_{n}\left(x\right)\right|\\ & \geq\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(\frac{1}{2n}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}1_{\left(0,\frac{1}{n}\right)}\left(\frac{1}{2n}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}1\\ & =1 \end{align*} となるので一様収束しない。
\(f_{n}\left(x\right)\)を積分をして極限をとると、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}f_{n}\left(x\right)dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\frac{1}{n}}dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\\ & =0 \end{align*} となり、\(f_{n}\left(x\right)\)を極限をとり積分すると、
\begin{align*} \int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx & =\int_{0}^{1}0dx\\ & =0 \end{align*} となる。
従って、\(\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{1}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx\)が成り立つが\(f_{n}\left(x\right)\)は一様収束してない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
反例2
区間\(\left[0,2\right]\)で関数列\(f_{n}\left(x\right)=x^{n}H_{0}\left(1-x\right)+H_{1}\left(x-1\right)\)を考える。\(H_{c}\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数である。
この関数列は\(f\left(x\right)=H_{1}\left(x-1\right)\)に各点収束するが、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,2\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,2\right]}\left|x^{n}H_{0}\left(1-x\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}H_{0}\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}H_{0}\left(\frac{1}{n}\right)\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\\ & =e^{-1} \end{align*} となるので一様収束しない。
\(f_{n}\left(x\right)\)を積分をして極限をとると、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{2}f_{n}\left(x\right)dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{2}\left\{ x^{n}H_{0}\left(1-x\right)+H_{1}\left(x-1\right)\right\} dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\int_{0}^{1}+\int_{1}^{2}\right)\left\{ x^{n}H_{0}\left(1-x\right)+H_{1}\left(x-1\right)\right\} dx\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ \int_{0}^{1}x^{n}H_{0}\left(1-x\right)dx+\int_{1}^{2}H_{1}\left(x-1\right)dx\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ \int_{0}^{1}x^{n}dx+\int_{1}^{2}dx\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ \left[\frac{1}{n+1}x^{n+1}\right]_{0}^{1}+1\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n+1}+1\right)\\ & =1 \end{align*} となり、\(f_{n}\left(x\right)\)を極限をとり積分すると、
\begin{align*} \int_{0}^{2}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx & =\int_{0}^{2}H_{1}\left(x-1\right)dx\\ & =\int_{1}^{2}H_{1}\left(x-1\right)dx\\ & =1 \end{align*} となる。
従って、\(\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{2}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{0}^{2}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx\)が成り立つが\(f_{n}\left(x\right)\)は一様収束してない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
(2)
\(f_{n}'\left(x\right)\)は一様収束しているので、\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}f_{n}\left(x\right) & =\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{d}{dx}f_{n}\left(x\right)dt\\ & =\frac{d}{dx}\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{x}\frac{d}{dx}f_{n}\left(x\right)dx\cmt{\because f_{n}'\left(x\right)\text{は一様収束}}\\ & =\frac{d}{dx}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(f_{n}\left(x\right)-f_{n}\left(a\right)\right)\\ & =\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)-f\left(a\right)\right)\\ & =\frac{d}{dx}f\left(x\right)\\ & =\frac{d}{dx}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right) \end{align*} となる。
\(f_{n}'\left(x\right)\)は\(f_{n}\left(x\right)\)が\(C^{1}\)級なので連続になり、\(\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}'\left(x\right)\)に一様収束しているので、\(\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}'\left(x\right)\)は連続となる。
\(\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}'\left(x\right)\)を積分して得られる\(f\left(x\right)-f\left(a\right)\)は\(C^{1}\)級になるので\(f\left(x\right)\)は\(C^{1}\)級になる。
ページ情報
| タイトル | 極限と積分・微分の順序変更 |
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\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}
\]
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\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}
\]