チェビシェフ多項式の漸化式
チェビシェフ多項式の漸化式
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
(1)
\[ T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x) \](2)
\[ U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x) \](1)
加法定理より、\[ \cos\left((k\pm1)t\right)=\cos\left(kt\right)\cos t\mp\sin\left(kt\right)\sin t \] となるので、
\[ \cos\left((k+1)t\right)=2\cos\left(kt\right)\cos t-\cos\left((k-1)t\right) \] これより、
\[ T_{k+1}(\cos t)=2T_{k}(\cos t)\cos t-T_{k-1}(\cos t) \] となるので、
\[ T_{k+1}(x)=2xT_{k}(x)-T_{k-1}(x) \]
(2)
加法定理より、\[ \sin\left((k\pm1)t\right)=\sin(kt)\cos t\pm\cos(kt)\sin t \] となるので、
\[ \sin\left((k+1)t\right)=2\sin(kt)\cos t-\sin\left((k-1)t\right) \] これより、
\[ U_{k}(\cos t)\sin t=2U_{k-1}(\cos t)\sin t\cos t-U_{k-2}(\cos t)\sin t \] となるので、
\[ U_{k}(x)=2xU_{k-1}(x)-U_{k-2}(x) \]
ページ情報
タイトル | チェビシェフ多項式の漸化式 |
URL | https://www.nomuramath.com/riaa57uv/ |
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第3種・第4種チェビシェフ多項式の漸化式
\[
V_{k+1}(x)=2xV_{k}(x)-V_{k-1}(x)
\]
チェビシェフ多項式の昇降演算子
\[
\left(\left(1-x^{2}\right)\frac{d}{dx}\mp nx\right)T_{n}(x)=\mp nT_{n\pm1}(x)
\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の微分方程式
\[
\left(1-x^{2}\right)V_{n}''(x)-\left(2x-1\right)V_{n}'(x)+n(n+1)V_{n}(x)=0
\]
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
\[
U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x)
\]