距離空間での各点連続と一様連続の定義
距離空間での各点連続と一様連続の定義
距離空間\(\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)\)と写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとする。
\[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right) \] となるとき、すなわち、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X;d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon \] となるとき、点\(x_{0}\)で連続であるという。
\[ \forall x_{0}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1}\in X;d_{X}\left(x_{0},x_{1}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{0}\right),f\left(x_{1}\right)\right)<\epsilon \] 又は、開近傍を使った同値な表現、
\[ \forall x_{0}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1}\in X;U_{\delta}\left(x_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x_{1}\right)\right)\right) \] となるとき、\(X\)上で\(f\)は連続であるという。
\[ \forall x_{1},x_{2}\in X,\lim_{\delta\rightarrow0+}\sup_{d\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta}d_{Y}\left(f\left(x_{2}\right),f\left(x_{1}\right)\right)=0 \] となるとき、\(X\)上で\(f\)は一様連続であるという。
距離空間\(\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)\)と写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとする。
(1)各点連続
ある点で連続
関数\(f\left(x\right)\)が\[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right) \] となるとき、すなわち、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X;d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon \] となるとき、点\(x_{0}\)で連続であるという。
全体で連続
\[ \forall x_{0},x_{1}\in X,\lim_{x_{1}\rightarrow x_{0}}f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{0}\right) \] となるとき、又は別の表現では、\[ \forall x_{0}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1}\in X;d_{X}\left(x_{0},x_{1}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{0}\right),f\left(x_{1}\right)\right)<\epsilon \] 又は、開近傍を使った同値な表現、
\[ \forall x_{0}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1}\in X;U_{\delta}\left(x_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x_{1}\right)\right)\right) \] となるとき、\(X\)上で\(f\)は連続であるという。
(2)一様連続
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{1},x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon \] となるとき、又は別の表現では、\[ \forall x_{1},x_{2}\in X,\lim_{\delta\rightarrow0+}\sup_{d\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta}d_{Y}\left(f\left(x_{2}\right),f\left(x_{1}\right)\right)=0 \] となるとき、\(X\)上で\(f\)は一様連続であるという。
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各点連続であるとき、\(\delta=\delta\left(\epsilon,x_{1}\right)\)であるが、一様連続であるときは\(\delta=\delta\left(\epsilon\right)\)となるので条件はきつくなる。-
(1)の距離を使った定義と開近傍を使った定義とは同値である。なぜなら
\begin{align*} & \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon\\ \Leftrightarrow & \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;x_{1}\in U_{\delta}\left(x_{2}\right)\rightarrow f\left(x_{1}\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(x_{2}\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;x_{1}\in U_{\delta}\left(x_{2}\right)\rightarrow x_{1}\in f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x_{2}\right)\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;U_{\delta}\left(x_{2}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x_{2}\right)\right)\right) \end{align*} となるからである。
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\[ \lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right) \] となるとき、極限の定義から\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X;0<d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon \] であり、\(x=x_{0}\)のときは、\(d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon\)が成り立つので、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X;d_{X}\left(x,x_{0}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(x_{0}\right)\right)<\epsilon \] と同値になります。
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実数上で通常距離をとるとして\(f\left(x\right)=x^{2}\)を考える。各点連続の証明
このとき、\begin{align*} \left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-f\left(a\right)\right| & =\left|x^{2}-a^{2}\right|\\ & =\left|x-a\right|\left|x+a\right|\\ & \leq\left|x-a\right|\left(\left|x\right|+\left|a\right|\right)\\ & =\left|x-a\right|\left(\left|x-a+a\right|+\left|a\right|\right)\\ & \leq\left|x-a\right|\left(\left|x-a\right|+2\left|a\right|\right)\\ & <\delta\left(\delta+2\left|a\right|\right) \end{align*} となるので、\(\epsilon=\delta\left(\delta+\left|2a\right|\right)\)とおけば、\(\delta=-\left|a\right|\pm\sqrt{\left|a\right|^{2}+\epsilon}\)となるが、\(0<\delta\)なので、\(\delta=\sqrt{\left|a\right|^{2}+\epsilon}-\left|a\right|\)ととればいい。
これより、\(f\left(x\right)=x^{2}\)は各点連続となる。
一様連続ではない証明
任意の\(\delta>0\)に対し、\(x_{1}=\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta},x_{2}=\frac{1}{\delta}\)とすると、\begin{align*} \left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{\delta}{2}<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| & =\left|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right|\\ & =\left|x_{1}-x_{2}\right|\left|x_{1}+x_{2}\right|\\ & =\frac{\delta}{2}\left(\frac{\delta}{2}+\frac{2}{\delta}\right)\\ & =\frac{\delta^{2}}{4}+1\\ & \geq1 \end{align*} となるので、\(\epsilon=1\)ととれば、一様連続の条件を満たさない。
つまり、\(\epsilon=1\)とととると、任意の\(\delta>0\)に対し、\(\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|\geq1>\epsilon\)となる\(x_{1},x_{2}\)が存在するので\(f\left(x\right)=x^{2}\)は一様連続ではない。
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\(\left(0,\infty\right)\)上で通常距離をとるとして\(f\left(x\right)=\frac{1}{x}\)を考える。各点連続の証明
\(\left|x-a\right|<\delta\)のとき、\(-\delta<x-a<\delta\)より、\(a-\delta<x<a+\delta\)となるので、\(\delta<a\)を満たすようにとれば、\(0<a-\delta<x\)なので、\(\frac{1}{x}\leq\frac{1}{a-\delta}\)\begin{align*} \left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-f\left(a\right)\right| & =\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right|\\ & =\left|\frac{a-x}{xa}\right|\\ & =\frac{\left|a-x\right|}{\left|a\right|\left|x\right|}\\ & <\frac{\delta}{a\left(a-\delta\right)} \end{align*} となるので、\(\epsilon=\frac{\delta}{a\left(a-\delta\right)}\)ととれば、\(\delta=\frac{a^{2}\epsilon}{1+a\epsilon}\)となり、\(\delta=\frac{a^{2}\epsilon}{1+a\epsilon}=\frac{a\left(1+a\epsilon\right)-a}{1+a\epsilon}=a-\frac{a}{1+a\epsilon}<a\)となるので条件\(\delta<a\)も満たす。
これより、任意の\(\epsilon>0\)に対し、\(\delta=\frac{a^{2}\epsilon}{1+a\epsilon}\)ととれば、\(\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\epsilon\)となるので\(f\left(x\right)=x^{2}\)は各点連続となる。
一様連続ではない証明
\(x_{1}=\frac{1}{n},x_{2}=\frac{1}{n+1}\)とおくと、十分大きな\(n\)をとれば\(\left|x_{1}-x_{2}\right|\)はいくらでも小さくできるので、任意の\(\delta>0\)に対し、\begin{align*} \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| & =\left|\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}\right|\\ & =\left|n-\left(n+1\right)\right|\\ & =1 \end{align*} となるので、\(\epsilon=1\)ととれば一様連続の条件を満たさない。
つまり、\(\epsilon=1\)ととると、任意の\(\delta>0\)に対し、ある\(x_{1},x_{2}\)が存在して、\(\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=1=\epsilon\)となるので\(f\left(x\right)=\frac{1}{x}\)は一様連続ではない。
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別の方法\(n\in\mathbb{N}\)として\(x_{1}=\frac{1}{n},x_{2}=\frac{2}{n}\)とおくと、\(\left|x_{1}-x_{2}\right|=\frac{1}{n}\)となるので、任意の\(\delta>0\)に対し、\(\frac{1}{\delta}<N\)を満たす\(N\)をとれば、
\begin{align*} \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| & =\left|n-\frac{n}{2}\right|\\ & =\left|\frac{n}{2}\right|\\ & \geq\frac{1}{2} \end{align*} となるので、\(\epsilon=\frac{1}{2}\)ととれば一様連続の条件を満たさなくなる。
つまり、\(\epsilon=\frac{1}{2}\)ととると、任意の\(\delta>0\)に対し、ある\(x_{1},x_{2}\)が存在して、\(\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|\geq\frac{1}{2}=\epsilon\)となるので\(f\left(x\right)=\frac{1}{x}\)は一様連続ではない。
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| タイトル | 距離空間での各点連続と一様連続の定義 |
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