ウォリスの公式
ウォリスの公式
\[ \prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2} \]
\[ \prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2} \]
\begin{align*}
\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right) & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)}\right)^{-1}\\
& =\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}-1}{(2k)^{2}}\right)^{-1}\\
& =\frac{\pi}{2}\left\{ \frac{\pi}{2}\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{k^{2}}\right)\right\} ^{-1}\\
& =\frac{\pi}{2}\sin^{-1}\left(\frac{\pi}{2}\right)\qquad,\qquad\sin(\pi z)=\pi z\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\\
& =\frac{\pi}{2}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ウォリスの公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/rszzqz7i/ |
| SNSボタン |
(*)log(1-x)のn乗の展開
\[
\log^{n}(1-x)=(-1)^{n}n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{S_{1}(k+n,n)}{(k+n)!}x^{k+n}
\]
ベルヌーイ数とリーマンゼータ関数
\[
B_{2n}=(-1)^{n+1}\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n)
\]
logの2乗の級数表示
\[
\log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1}
\]
対数の公式
\[
\log M-\log N=\log\frac{M}{N}
\]