(1)

\begin{align*} \sin^{\bullet}\sin z=z & \Leftrightarrow\sin^{\bullet}\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=z\cmt{\because\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\sin z}\\ & \Leftrightarrow\frac{\pi}{2}-\cos^{\bullet}\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=z\cmt{\because\sin^{\bullet}z+\cos^{\bullet}z=\frac{\pi}{2}}\\ & \Leftrightarrow\cos^{\bullet}\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\frac{\pi}{2}-z \end{align*}

(2)

\(z\ne0\)のときは
\begin{align*} \sin^{-1,\bullet}\sin^{-1}z=z & \Leftrightarrow\sin^{-1,\bullet}\frac{1}{\sin z}=z\\ & \Leftrightarrow\sin^{\bullet}\sin z=z\\ & \Leftrightarrow\cos^{\bullet}\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\frac{\pi}{2}-z\\ & \Leftrightarrow\cos^{-1,\bullet}\cos^{-1}\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\frac{\pi}{2}-z \end{align*} となる。
\(z=0\)のときは両辺とも定義ができないので
\[ \sin^{-1,\bullet}\sin^{-1}z=z\Leftrightarrow\cos^{-1,\bullet}\cos^{-1}\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\frac{\pi}{2}-z \] となる。
従って、
\[ \sin^{-1,\bullet}\sin^{-1}z=z\Leftrightarrow\cos^{-1,\bullet}\cos^{-1}\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\frac{\pi}{2}-z \] が成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \sin^{-1,\bullet}\sin^{-1}z=z & \Leftrightarrow\left(z\ne0\land-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\right)\lor\left(\Re z=-\frac{\pi}{2}\land0\leq\Im z\right)\lor\left(\Re z=\frac{\pi}{2}\land\Im z\leq0\right)\\ & \Rightarrow-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\lor\left(\Re z=-\frac{\pi}{2}\land0\leq\Im z\right)\lor\left(\Re z=\frac{\pi}{2}\land\Im z\leq0\right)\\ & \Leftrightarrow\sin^{\bullet}\sin z=z \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(z=0\)のとき、\(\sin^{\bullet}\sin z=z\)となるが、\(\sin^{-1,\bullet}\sin^{-1}z\)は定義ができないので\(\sin^{-1,\bullet}\sin^{-1}z\ne z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(4)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \cos^{-1,\bullet}\cos^{-1}z=z & \Leftrightarrow\left(z\ne\frac{\pi}{2}\land0<\Re z<\pi\right)\lor\left(\Re z=0\land0\leq\Im z\right)\lor\left(\Re z=\pi\land\Im z\leq0\right)\\ & \Rightarrow0<\Re z<\pi\lor\left(\Re z=0\land0\leq\Im z\right)\lor\left(\Re z=\pi\land\Im z\leq0\right)\\ & \Leftrightarrow\cos^{\bullet}\cos z=z \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(z=\frac{\pi}{2}\)のとき、\(\cos^{\bullet}\cos z=z\)となるが、\(\cos^{-1,\bullet}\cos^{-1}z\)は定義ができないので\(\cos^{-1,\bullet}\cos^{-1}z\ne z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(5)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \tan^{-1,\bullet}\tan^{-1}z=z & \Leftrightarrow\left(z\ne0\land-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\right)\lor\left(\Re z=-\frac{\pi}{2}\land\Im z<0\right)\lor\left(\Re z=\frac{\pi}{2}\land0<\Im z\right)\\ & \Rightarrow-\frac{\pi}{2}<\Re z<\frac{\pi}{2}\lor\left(\Re z=-\frac{\pi}{2}\land\Im z<0\right)\lor\left(\Re z=\frac{\pi}{2}\land0<\Im z\right)\\ & \Leftrightarrow\tan^{\bullet}\tan z=z \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(z=0\)のとき、\(\tan^{\bullet}\tan z=z\)となるが、\(\tan^{-1,\bullet}\tan^{-1}z\)は定義ができないので\(\tan^{-1,\bullet}\tan^{-1}z\ne z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(6)

反例で示す。
\(z=0\)とすると、\(\sinh^{\bullet}\sinh z=z\)は成り立つが、\(\cosh^{\bullet}\cosh\left(\frac{\pi}{2}i-z\right)=\cosh^{\bullet}\cosh\left(\frac{\pi}{2}i\right)=\cosh^{\bullet}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cosh^{\bullet}0=\frac{\pi}{2}i\ne0=z\)となる。
従って、\(\Rightarrow\)は成り立たない。
故に\(\nLeftrightarrow\)となる。

(7)

反例で示す。
\(z=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}i\)とすると、
\[ \sinh^{-1,\bullet}\sinh^{-1}z=z\Leftrightarrow\left(z\ne0\land-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\right)\lor\left(\Im z=-\frac{\pi}{2}\land\Re z\leq0\right)\lor\left(\Im z=\frac{\pi}{2}\land0\leq\Re z\right) \] より、\(\sinh^{-1,\bullet}\sinh^{-1}z=z\)が成り立つが、
\begin{align*} \cosh^{-1,\bullet}\cosh^{-1}\left(\frac{\pi}{2}i-z\right) & =\cosh^{-1,\bullet}\cosh^{-1}\left(\frac{\pi}{2}i-\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}i\right)\right)\\ & =\cosh^{\bullet}\cosh\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\ & =\cosh^{\bullet}\cosh\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ & =\frac{\pi}{2}\cmt{\because\cosh^{\bullet}\cosh z=z\Leftrightarrow\left(0<\Re z\land-\pi<\Im z\leq\pi\right)\lor\left(\Re z=0\land0\leq\Im z\leq\pi\right)}\\ & \ne-\frac{\pi}{2}\\ & =\frac{\pi}{2}i-\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}i\right)\\ & =\frac{\pi}{2}i-z \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)は成り立たない。
故に\(\nLeftrightarrow\)となる。

(8)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \sinh^{-1,\bullet}\sinh^{-1}z=z & \Leftrightarrow\left(z\ne0\land-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\right)\lor\left(\Im z=-\frac{\pi}{2}\land\Re z\leq0\right)\lor\left(\Im z=\frac{\pi}{2}\land0\leq\Re z\right)\\ & \Rightarrow-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\lor\left(\Im z=-\frac{\pi}{2}\land\Re z\leq0\right)\lor\left(\Im z=\frac{\pi}{2}\land0\leq\Re z\right)\\ & \Leftrightarrow\sinh^{\bullet}\sinh z=z \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(z=0\)のとき、\(\sinh^{\bullet}\sinh z=z\)となるが、\(\sinh^{-1,\bullet}\sinh^{-1}z\)は定義ができないので\(\sinh^{-1,\bullet}\sinh^{-1}z\ne z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(9)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \cosh^{-1,\bullet}\cosh^{-1}z=z & \Leftrightarrow\left(0<\Re z\land-\pi<\Im z\leq\pi\right)\lor\left(\Re z=0\land0\leq\Im z<\frac{\pi}{2}\right)\lor\left(\Re z=0\land\frac{\pi}{2}\leq\Im z\leq\pi\right)\\ & \Rightarrow\left(0<\Re z\land-\pi<\Im z\leq\pi\right)\lor\left(\Re z=0\land0\leq\Im z\leq\pi\right)\\ & \Leftrightarrow\cosh^{\bullet}\cosh z=z \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(z=\frac{\pi}{2}i\)のとき、\(\cosh^{\bullet}\cosh z=\cosh^{\bullet}\cosh\left(\frac{\pi}{2}i\right)=\cosh^{\bullet}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cosh^{\bullet}0=\frac{\pi}{2}i=z\)となるが、\(\cosh^{-1,\bullet}\cosh^{-1}z\)は定義ができないので\(\cosh^{-1,\bullet}\cosh^{-1}z\ne z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(10)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \tanh^{-1,\bullet}\tanh^{-1}z=z & \Leftrightarrow\left(z\ne0\land-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\right)\lor\left(\Im z=\frac{\pi}{2}\land\Re z<0\right)\lor\left(\Im z=-\frac{\pi}{2}\land0<\Re z\right)\\ & \Rightarrow-\frac{\pi}{2}<\Im z<\frac{\pi}{2}\lor\left(\Im z=\frac{\pi}{2}\land\Re z<0\right)\lor\left(\Im z=-\frac{\pi}{2}\land0<\Re z\right)\\ & \Leftrightarrow\tanh^{\bullet}\tanh z=z \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(z=0\)のとき、\(\tanh^{\bullet}\tanh z=z\)となるが、\(\tanh^{-1,\bullet}\tanh^{-1}z\)は定義ができないので\(\tanh^{-1,\bullet}\tanh^{-1}z\ne z\)となる。
従って、逆は一般的に成り立たない。