偏角・対数と符号関数の関係
偏角・対数と符号関数の関係
\(z\ne0\)とする。
\(z\ne0\)とする。
(1)
\[ \Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \](2)
\[ e^{i\Arg\left(z\right)}=\sgn\left(z\right) \](3)
\[ \Log z=\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \](1)
\begin{align*} \Arg\left(z\right) & =\frac{1}{i}\left(\Log z-\ln\left|z\right|\right)\\ & =-i\left(\Log z+\ln\left|z\right|^{-1}\right)\\ & =-i\Log\frac{z}{\left|z\right|}\\ & =-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} e^{i\Arg\left(z\right)} & =e^{\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)}\\ & =\sgn\left(z\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \Log z & =\ln\left|z\right|+i\Arg\left(z\right)\\ & =\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \end{align*}ページ情報
| タイトル | 偏角・対数と符号関数の関係 |
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積が非負実数のべき乗
\[
\left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
eの冪乗の基本
\[
e^{\alpha+\beta}=e^{\alpha}e^{\beta}
\]
対数と偏角の性質
\[
\log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1
\]
冪乗の性質
\[
\pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta+\gamma}
\]