偏角・対数と符号関数の関係
偏角・対数と符号関数の関係
\(z\ne0\)とする。
\(z\ne0\)とする。
(1)
\[ \Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \](2)
\[ e^{i\Arg\left(z\right)}=\sgn\left(z\right) \](3)
\[ \Log z=\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \](1)
\begin{align*} \Arg\left(z\right) & =\frac{1}{i}\left(\Log z-\ln\left|z\right|\right)\\ & =-i\left(\Log z+\ln\left|z\right|^{-1}\right)\\ & =-i\Log\frac{z}{\left|z\right|}\\ & =-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} e^{i\Arg\left(z\right)} & =e^{\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)}\\ & =\sgn\left(z\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \Log z & =\ln\left|z\right|+i\Arg\left(z\right)\\ & =\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 偏角・対数と符号関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/rz7w7dmg/ |
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負数の偏角と対数
\[
\Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right)=2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi
\]
偏角・対数の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\
\Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]
2乗のルート
\[
\sqrt{\alpha^{2}}=\left|\alpha\right|\sqrt{\sgn^{2}\left(\alpha\right)}
\]
対数と偏角の基本
\[
\log z=\Log z+\log1
\]