(*)オイラー多項式の微分・積分

by nomura · 2025年1月24日

オイラー多項式の微分・積分
オイラー多項式\(E_{n}\left(x\right)\)の微分と積分について次が成り立つ。

(1)微分

\[ E_{n}'\left(x\right)=nE_{n-1}\left(x\right) \]

(2)\(k\)階微分

\(k\in\mathbb{N}_{0}\)または\(k\in\mathbb{Z}\)とする。
\[ E_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)E_{n-k}\left(x\right) \]

(3)積分

\[ \int E_{n}\left(x\right)dx=\frac{E_{n+1}\left(x\right)}{n+1}+C \]

(4)

\[ \int_{0}^{1}E_{m}\left(x\right)E_{n}\left(x\right)dx=\left(-1\right)^{n}4\left(2^{m+n+2}-1\right)\frac{m!n!}{\left(m+n+2\right)!}B_{m+n+2} \]

-

\(B_{n}\)はベルヌーイ数

(1)

\begin{align*} E_{n}'\left(x\right) & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k}}\left(n-k\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n-k-1}\\ & =n\sum_{k=0}^{n}C\left(n-1,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n-k-1}\\ & =n\sum_{k=0}^{n-1}C\left(n-1,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n-1-k}\\ & =nE_{n-1}\left(x\right) \end{align*}

(2)

(1)より、
\begin{align*} E_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right) & =nE_{n-1}^{\left(k-1\right)}\left(x\right)\\ & =\frac{n!}{\left(n-k\right)!}E_{n-k}\left(x\right)+n!\sum_{j=1}^{k}\left\{ \frac{1}{\left(n-j\right)!}E_{n-j}^{\left(k-j\right)}\left(x\right)-\frac{1}{\left(n-\left(j-1\right)\right)!}E_{n-\left(j-1\right)}^{\left(k-\left(j-1\right)\right)}\left(x\right)\right\} \\ & =\frac{n!}{\left(n-k\right)!}E_{n-k}\left(x\right)\\ & =P\left(n,k\right)E_{n-k}\left(x\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(3)

(1)より、
\begin{align*} \int E_{n}\left(x\right)dx & =\frac{1}{n+1}\int E_{n+1}'\left(x\right)dx\\ & =\frac{E_{n+1}\left(x\right)}{n+1}+C \end{align*} となるので与式は成り立つ。