(1)

\begin{align*} \forall x\forall y,P\left(x,y\right) & \Leftrightarrow\bigwedge_{x\in X}\bigwedge_{y\in Y}P\left(x,y\right)\\ & \Leftrightarrow\bigwedge_{y\in Y}\bigwedge_{x\in X}P\left(x,y\right)\\ & \Leftrightarrow\forall y\forall x,P\left(x,y\right) \end{align*}

(2)

\begin{align*} \exists x\exists y,P\left(x,y\right) & \Leftrightarrow\bigvee_{x\in X}\bigvee_{y\in Y}P\left(x,y\right)\\ & \Leftrightarrow\bigvee_{y\in Y}\bigvee_{x\in X}P\left(x,y\right)\\ & \Leftrightarrow\exists y\exists x,P\left(x,y\right) \end{align*}

(3)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \exists x\in X,\forall y\in Y,P\left(x,y\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\bigwedge_{y\in Y}P\left(x,y\right)\\ & \Leftrightarrow\bigvee_{x\in X}\bigwedge_{y\in Y}P\left(x,y\right)\\ & \Rightarrow\bigwedge_{y\in Y}\bigvee_{x\in X}P\left(x,y\right)\\ & \Leftrightarrow\forall y\in Y,\exists x\in X,P\left(x,y\right) \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ \exists x\in\left\{ 0,1\right\} ,\forall y\in\left\{ 0,-1\right\} ,x+y=0\nLeftarrow\forall y\in\left\{ 0,-1\right\} ,\exists x\in\left\{ 0,1\right\} ,x+y=0 \] 左辺は偽、右辺は真となる。
故に逆は一般的に成り立たない。

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これより題意は成り立つ。