量化子(全称命題・存在命題)の順序変更
量化子(全称命題・存在命題)の順序変更
量化子(全称命題・存在命題)は次のように順序変更できる。
量化子(全称命題・存在命題)は次のように順序変更できる。
(1)
\[ \forall x\forall y,P\left(x,y\right)\Leftrightarrow\forall y\forall x,P\left(x,y\right) \](2)
\[ \exists x\exists y,P\left(x,y\right)\Leftrightarrow\exists y\exists x,P\left(x,y\right) \](3)
\[ \exists x\forall y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\exists x,P\left(x,y\right) \] 逆は一般的に成り立たない。(3)の補足
\(\exists x\forall y,P\left(x,y\right)\)はある\(x\)が存在し、(\(x\)に依らない)任意の\(y\)について\(P\left(x,y\right)\)が成り立つということである。
\(\forall y\exists x,P\left(x,y\right)\)は任意の\(y\)に対し、(\(y\)に依って変えてもよい)ある\(x_{y}\)が存在して\(P\left(x,y\right)\)が成り立つということである。
これより、\(\exists x\forall y,P\left(x,y\right)\)が成り立てば条件の緩い\(\forall y\exists x,P\left(x,y\right)\)は成り立つということである。
\(\exists x\forall y,P\left(x,y\right)\)はある\(x\)が存在し、(\(x\)に依らない)任意の\(y\)について\(P\left(x,y\right)\)が成り立つということである。
\(\forall y\exists x,P\left(x,y\right)\)は任意の\(y\)に対し、(\(y\)に依って変えてもよい)ある\(x_{y}\)が存在して\(P\left(x,y\right)\)が成り立つということである。
これより、\(\exists x\forall y,P\left(x,y\right)\)が成り立てば条件の緩い\(\forall y\exists x,P\left(x,y\right)\)は成り立つということである。
(1)
\begin{align*} \forall x\forall y,P\left(x,y\right) & \Leftrightarrow\bigwedge_{x\in X}\bigwedge_{y\in Y}P\left(x,y\right)\\ & \Leftrightarrow\bigwedge_{y\in Y}\bigwedge_{x\in X}P\left(x,y\right)\\ & \Leftrightarrow\forall y\forall x,P\left(x,y\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \exists x\exists y,P\left(x,y\right) & \Leftrightarrow\bigvee_{x\in X}\bigvee_{y\in Y}P\left(x,y\right)\\ & \Leftrightarrow\bigvee_{y\in Y}\bigvee_{x\in X}P\left(x,y\right)\\ & \Leftrightarrow\exists y\exists x,P\left(x,y\right) \end{align*}(3)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} \exists x\in X,\forall y\in Y,P\left(x,y\right) & \Leftrightarrow\exists x\in X,\bigwedge_{y\in Y}P\left(x,y\right)\\ & \Leftrightarrow\bigvee_{x\in X}\bigwedge_{y\in Y}P\left(x,y\right)\\ & \Rightarrow\bigwedge_{y\in Y}\bigvee_{x\in X}P\left(x,y\right)\\ & \Leftrightarrow\forall y\in Y,\exists x\in X,P\left(x,y\right) \end{align*}逆は一般的に成り立たない
反例で示す。\[ \exists x\in\left\{ 0,1\right\} ,\forall y\in\left\{ 0,-1\right\} ,x+y=0\nLeftarrow\forall y\in\left\{ 0,-1\right\} ,\exists x\in\left\{ 0,1\right\} ,x+y=0 \] 左辺は偽、右辺は真となる。
故に逆は一般的に成り立たない。
-
これより題意は成り立つ。ページ情報
| タイトル | 量化子(全称命題・存在命題)の順序変更 |
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量化記号(全称命題・存在命題)の分配
\[
\exists x\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\lor\exists xQ\left(x\right)
\]
結合法則一覧
\[
P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftrightarrow Q\right)\leftrightarrow R
\]
存在命題(論理和)と全称命題(論理積)の順序変更
\[
\exists x\in X,\forall y\in Y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\in Y,\exists x\in X,P\left(x,y\right)
\]
LK推論規則での包含関係
\[
\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right)\Rightarrow\left(P\lor R\right)\rightarrow\left(Q\land S\right)
\]