連結・非連結の別定義
連結・非連結の別定義
連結・非連結の定義は次のようにも表現できる。
すなわち、閉集合全体の集合を\(\mathcal{F}\)とすると、
\[ \exists F_{1},F_{2}\in\mathcal{F},X=F_{1}\cup F_{2}\land F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\land F_{1}\ne\emptyset\land F_{2}\ne\emptyset \] となる。
連結・非連結の定義は次のようにも表現できる。
(1)閉集合による別定義
連結のための条件は閉集合についても成り立つ。すなわち、閉集合全体の集合を\(\mathcal{F}\)とすると、
\[ \exists F_{1},F_{2}\in\mathcal{F},X=F_{1}\cup F_{2}\land F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\land F_{1}\ne\emptyset\land F_{2}\ne\emptyset \] となる。
(2)空集合・全体集合以外で開集合かつ閉集合
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が非連結であることと、\(\emptyset,X\)以外に開集合かつ閉集合のなる元が存在することは同値である。(1)
\begin{align*} X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\ne\emptyset & \Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land\left(X\ne O_{1}\cup O_{2}\lor O_{1}\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land\lnot\left(X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land\lnot\left(X=O_{2}\land O_{1}=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land\lnot\left(X=O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=X\right)\\ & \Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land\left(X\ne O_{2}\lor O_{1}\cap O_{2}\ne X\right)\\ & \Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{2}\ne X \end{align*} 同様に\(X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{2}\ne\emptyset\Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\ne X\)となる。これより、非連結の条件は開集合の補集合は閉集合なので\(O_{1}^{c}=F_{1},O_{2}^{c}=F_{2}\)とおくと、
\begin{align*} \exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset & \Leftrightarrow\exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne X\land O_{2}\ne X\\ & \Leftrightarrow\exists F_{1}^{c},F_{2}^{c}\in\mathcal{O},X=F_{1}^{c}\cup F_{2}^{c}\land F_{1}^{c}\cap F_{2}^{c}=\emptyset\land F_{1}^{c}\ne X\land F_{2}^{c}\ne X\\ & \Leftrightarrow\exists F_{1},F_{2}\in\mathcal{F},\emptyset=F_{1}\cap F_{2}\land F_{1}\cup F_{2}=X\land F_{1}\ne\emptyset\land F_{2}\ne X \end{align*} となるので開集合についての条件が閉集合についても成り立つ。
故に題意は成り立つ。
(2)
\(\Rightarrow\)
非連結の定義より、ある開集合\(O_{1},O_{2}\in\mathcal{O}\)に対し\(X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne0\)なので、\(O_{1}^{c}\cap O_{2}^{c}=\emptyset\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\)より、\(O_{1}^{c}\subseteq O_{2}\land O_{2}\subseteq O_{1}^{c}\Leftrightarrow O_{2}=O_{1}^{c}\)となる。開集合の補集合は閉集合なので\(O_{1}^{c}\)は閉集合となり\(O_{2}\)が閉集合となるが、\(O_{2}\)は開集合でもあるので、開集合かつ閉集合となる。
これより、\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
\(\emptyset,X\)以外の\(O_{1}\in\mathcal{O}\)が開集合かつ閉集合とする。このとき\(O_{2}=O_{1}^{c}\)とおくと、非連結の定義\[ \exists O_{1}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{1}^{c}\land O_{1}\cap O_{1}^{c}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{1}^{c}\ne\emptyset \] が成り立つので、非連結となる。
これより、\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより\(\Rightarrow\)も\(\Leftarrow\)も成り立つので題意は成り立つ。ページ情報
| タイトル | 連結・非連結の別定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/s4abcuzl/ |
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\[
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A_{n}=\left\{ \left(\frac{1}{n},y\right);0<y\leq1\right\} \\
A_{\infty}=\left\{ \left(0,y\right);0<y\leq1\right\} \\
B=\left\{ \left(x,0\right);0\leq x\leq1\right\}
\end{cases}
\]
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