フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)
フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)
フィボナッチ数列の一般項は、
\[ F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\} \] となる。
これをビネの公式という。
フィボナッチ数列の一般項は、
\[ F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\} \] となる。
これをビネの公式という。
(1)
\begin{align*} F_{1} & =\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{1}\right\} \\ & =\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\sqrt{5}\\ & =1 \end{align*}(2)
\begin{align*} F_{2} & =\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}\right\} \\ & =\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \sqrt{5}\cdot1\right\} \\ & =1 \end{align*}フィボナッチ数列の漸化式
\[ F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} \] は定数係数2項間漸化式である。
特性方程式\(x^{2}-x-1=0\)の2解は\(\alpha_{\pm}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)であるので、一般項は
\begin{align*} F_{n} & =\frac{\left(F_{1}-\alpha_{-}F_{0}\right)\alpha_{+}^{n}-\left(F_{1}-\alpha_{+}F_{0}\right)\alpha_{-}^{n}}{\alpha_{+}-\alpha_{-}}\\ & =\frac{\alpha_{+}^{n}-\alpha_{-}^{n}}{\alpha_{+}-\alpha_{-}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\} \end{align*} となり、題意は成り立つ。
\[ F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} \] は定数係数2項間漸化式である。
特性方程式\(x^{2}-x-1=0\)の2解は\(\alpha_{\pm}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)であるので、一般項は
\begin{align*} F_{n} & =\frac{\left(F_{1}-\alpha_{-}F_{0}\right)\alpha_{+}^{n}-\left(F_{1}-\alpha_{+}F_{0}\right)\alpha_{-}^{n}}{\alpha_{+}-\alpha_{-}}\\ & =\frac{\alpha_{+}^{n}-\alpha_{-}^{n}}{\alpha_{+}-\alpha_{-}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\} \end{align*} となり、題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式) |
| URL | https://www.nomuramath.com/s4bi29b7/ |
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フィボナッチ数列の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1
\]
フィボナッチ数列同士の最大公約数
\[
\gcd\left(F_{m},F_{n}\right)=F_{\gcd\left(m,n\right)}
\]
フィボナッチ数列の行列表示
\[
\left(\begin{array}{cc}
F_{n+1} & F_{n}\\
F_{n} & F_{n-1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)^{n}
\]
フィボナッチ数列の定義
\[
F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}
\]