集合族・添字集合・部分族・集合列・有限集合列の定義
集合族・添字集合・部分族・集合列・有限集合列の定義
集合族とは集合の集合のことである。
集合族も集合であるが筆記体\(\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}\)などを使い集合と区別されることが多い。
\(\mathcal{A}=\left\{ A,B,C,\cdots\right\} \)のように添え字付けられていない集合が集まったものを集合系、添字集合により添え字付けられたもの\(\mathcal{A}=\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} ,\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)を集合族と区別されることもある。
また、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を\(\Lambda\)で添え字付けられた集合族という。
集合列は無限に続く列のことです。
集合列は\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(A_{n};n\in\mathbb{N}\right),\left(A_{1},A_{2},\cdots\right)\)のように表します。
集合列は写像\(\mathbb{N}\rightarrow A,n\mapsto A_{n}\)で対応付けられます。
有限集合列は\(\left(A_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} },\left(A_{k};k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right),\left(A_{k};k=1,2,\cdots,n\right),\left(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\right)\)のように表します。
有限集合列は写像\(\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \rightarrow A,k\mapsto A_{k}\)で対応付けられます。
(1)集合族(集合系)
集合\(A\)の任意の要素が集合であるとき、\(A\)を集合族または集合系という。集合族とは集合の集合のことである。
集合族も集合であるが筆記体\(\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}\)などを使い集合と区別されることが多い。
\(\mathcal{A}=\left\{ A,B,C,\cdots\right\} \)のように添え字付けられていない集合が集まったものを集合系、添字集合により添え字付けられたもの\(\mathcal{A}=\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} ,\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)を集合族と区別されることもある。
(2)添字集合
集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)があるとき、添字の集合\(\Lambda\)を添字集合という。また、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を\(\Lambda\)で添え字付けられた集合族という。
(3)部分族
集合族\(\mathcal{A},\mathcal{B}\)が\(\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}\)となるとき、\(\mathcal{A}\)を\(\mathcal{B}\)の部分族という。(4)集合列
自然数全体の集合\(\mathbb{N}\)で添え字付けられた集合族\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}=\left(A_{1},A_{2},\cdots\right)\)を集合列といい、部分族の特別な場合です。集合列は無限に続く列のことです。
集合列は\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(A_{n};n\in\mathbb{N}\right),\left(A_{1},A_{2},\cdots\right)\)のように表します。
集合列は写像\(\mathbb{N}\rightarrow A,n\mapsto A_{n}\)で対応付けられます。
(5)有限集合列
集合\(\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)で添え字付けられた集合族\(\left(A_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }=\left(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\right)\)を有限集合列といい、部分族の特別な場合です。有限集合列は\(\left(A_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} },\left(A_{k};k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right),\left(A_{k};k=1,2,\cdots,n\right),\left(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\right)\)のように表します。
有限集合列は写像\(\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \rightarrow A,k\mapsto A_{k}\)で対応付けられます。
(1)集合族
\(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \)は任意の要素が集合なので集合族となる。(2)添字集合
集合族\(\left\{ A_{1},A_{2}\right\} \)があるとき\(\left\{ A_{1},A_{2}\right\} =\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\)となるので\(\left\{ 1,2\right\} \)は添字集合となる。また\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\)を\(\left\{ 1,2\right\} \)で添え字付けられた集合族という。
(3)部分族
集合\(A_{1},A_{2}\)があるとき、\(\left\{ A_{1}\right\} \subseteq\left\{ A_{1},A_{2}\right\} \)となるので\(\left\{ A_{1}\right\} \)を\(\left\{ A_{1},A_{2}\right\} \)の部分族という。(4)集合列
\(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots\right)\)は集合列になります。(5)有限集合列
\(\left(n^{2}\right)_{n\in\left\{ 1,2,\cdots,5\right\} }=\left(1,4,9,16,25\right)\)は有限集合列になります。ページ情報
タイトル | 集合族・添字集合・部分族・集合列・有限集合列の定義 |
URL | https://www.nomuramath.com/s95lmkfv/ |
SNSボタン |
2項係数の対称性を使います
\[
\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=?
\]
整数を含む床関数と天井関数
\[
\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor +\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil =n
\]
極限と上極限・下極限との関係
\[
\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right)
\]
3人とも休憩がしたいのかな?