有界閉区間上の連続関数はリーマン可積分

\(\Rightarrow\)

有界閉区間で連続なので\(f\)は一様連続となる。
区間\(\left[a,b\right]\)を
\[ a_{0}=a<a_{1}<\cdots<a_{n}=b \] となるように分割し、\(\delta_{k}=a_{k}-a_{k-1}\)とする。
一様連続なので、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall a_{k-1},a_{k}\in I;\left|a_{k-1}-a_{k}\right|<\delta\rightarrow\left|f\left(a_{k-1}\right)-f\left(a_{k}\right)\right|<\epsilon \] を満たすので、\(\max_{1\leq k\leq n}\)\(\delta_{k}<\delta\)となるように分割をすると任意の\(k\)について成り立つ。
ここで、区間\(\left[a_{k-1},a_{k}\right]\)での\(f\)の下限と上限を
\[ \begin{cases} f_{k}=\inf_{a_{k-1}\leq x\leq a_{k}}f\left(x\right)\\ F_{k}=\sup_{a_{k-1}\leq x\leq a_{k}}f\left(x\right) \end{cases} \] とする。
また、\(x,y\in\left[a_{k-1},a_{k}\right]\)とすると、\(\left|x-y\right|<\left|a_{k}-a_{k-1}\right|<\delta\rightarrow\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\epsilon\)となるので、
\begin{align*} F_{k}-f_{k} & =\max_{a_{k-1}\leq x\leq a_{k}}f\left(x\right)-\min_{a_{k-1}\leq x\leq a_{k}}f\left(x\right)\\ & =\max_{a_{k-1}\leq x\leq a_{k}}f\left(x\right)+\max_{a_{k-1}\leq x\leq a_{k}}-f\left(x\right)\\ & =\max_{x,y\in\left[a_{k-1},a_{k}\right]}\left(f\left(x\right)-f\left(y\right)\right)\\ & <\epsilon \end{align*} となるので、上積分\(\sum_{k=1}^{n}F_{k}\delta_{k}\)と下積分\(\sum_{k=1}^{n}f_{k}\delta_{k}\)の差は
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}F_{k}\delta_{k}-\sum_{k=1}^{n}f_{k}\delta_{k} & =\sum_{k=1}^{n}\left(F_{k}-f_{k}\right)\delta_{k}\\ & <\epsilon\sum_{k=1}^{n}\delta_{k}\\ & =\epsilon\left(b-a\right) \end{align*} となるので、\(\epsilon\rightarrow0\)とすれば\(\sum_{k=1}^{n}F_{k}\delta_{k}-\sum_{k=1}^{n}f_{k}\delta_{k}=0\)となるので、リーマン可積分となる。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

有界閉区間を\(I=\left[-1,1\right]\)とする。
このとき、ヘヴィサイドの階段関数(単位ステップ関数)
\[ H_{0}\left(x\right)=\begin{cases} 0 & x\leq0\\ 1 & 0<x \end{cases} \] は不連続であるが、リーマン可積分である。
従って\(H_{0}\left(x\right)\)は\(I\)上でリーマン可積分であるが、連続ではない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。