冪乗の符号関数
冪乗の符号関数
\(b\in\mathbb{R}\)として、\(\alpha\ne0\;\lor\;b\ne0\)とする。
\[ \sgn\left(\alpha^{b}\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right) \]
\(b\in\mathbb{R}\)として、\(\alpha\ne0\;\lor\;b\ne0\)とする。
\[ \sgn\left(\alpha^{b}\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right) \]
(0)
\(\alpha\ne0\)のとき
\begin{align*} \sgn\left(\alpha^{b}\right) & =\frac{\alpha^{b}}{\left|\alpha^{b}\right|}\\ & =\frac{\alpha^{b}}{\left|\alpha\right|^{b}}\\ & =\left(\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\right)^{b}\\ & =\sgn^{b}\left(\alpha\right) \end{align*}\(\alpha=0\;\land\;b\ne0\)のとき
\begin{align*} \sgn\left(\alpha^{b}\right) & =\sgn\left(0\right)\\ & =0\\ & =\sgn^{b}\left(\alpha\right) \end{align*}-
これより、\(\left(\alpha\ne0\right)\;\lor\;\left(\alpha=0\;\land\;b\ne0\right)\Leftrightarrow T\;\land\;\left(\alpha\ne0\;\lor\;b\ne0\right)\Leftrightarrow\alpha\ne0\;\lor\;b\ne0\)について成り立つので与式は成り立つ。ページ情報
| タイトル | 冪乗の符号関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/shwzhgjj/ |
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符号関数と絶対値
\[
\sgn\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\sgn\beta\cnd{\alpha\ne0}
\]
極限が符号関数になる関数
\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\tanh\left(kx\right)=\sgn\left(x\right)
\]
符号関数とクロネッカーのデルタの関係(逆クロネッカーのデルタ)
\[
\left|\sgn\alpha\right|=1-\delta_{0,\alpha}
\]
符号関数の定義
\[
\sgn\left(z\right)=\begin{cases}
\frac{z}{\left|z\right|} & z\ne0\\
0 & z=0
\end{cases}
\]