櫛型関数の性質
櫛型関数の性質
櫛型関数は次の性質がある。
\[ \mathrm{comb}_{T}\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\mathrm{comb}_{\frac{T}{a}}\left(x\right) \]
櫛型関数は次の性質がある。
(1)偶関数
\[ \mathrm{comb}_{T}\left(-x\right)=\mathrm{comb}_{T}\left(x\right) \](2)引数の定数倍
\(a\in\mathbb{R}\)とする。\[ \mathrm{comb}_{T}\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\mathrm{comb}_{\frac{T}{a}}\left(x\right) \]
(1)
\begin{align*} \mathrm{comb}_{T}\left(-x\right) & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(-x-Tn\right)\\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(-x+Tn\right)\cmt{n\rightarrow-n}\\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(x-Tn\right)\\ & =\mathrm{comb}_{T}\left(x\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \mathrm{comb}_{T}\left(ax\right) & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(ax-Tn\right)\\ & =\frac{1}{\left|a\right|}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(x-\frac{T}{a}n\right)\\ & =\frac{1}{\left|a\right|}\mathrm{comb}_{\frac{T}{a}}\left(x\right) \end{align*}ページ情報
タイトル | 櫛型関数の性質 |
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櫛型関数のフーリエ級数展開とフーリエ変換
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi}{T}nx}
\]
櫛型関数の定義
\[
\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(x-Tn\right)
\]