量化記号(全称命題・存在命題)の定義
量化記号(全称命題・存在命題)の定義
集合\(X\)の任意の元\(x\)について命題\(P\)が成り立つときは\(\forall x\in X,P\left(x\right)\)と表す。
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\forall x,x\in X\rightarrow P\left(x\right) \] \[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow x\in X\rightarrow P\left(x\right) \] \[ \forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigwedge_{x}P\left(x\right) \] \[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigwedge_{x\in X}P\left(x\right) \] である。
集合Xの元にxが存在し命題\(P\)が成り立つときは\(\exists x\in X,P\left(x\right)\)と表す。
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,x\in X\land P\left(x\right) \] \[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x\in X\land P\left(x\right) \] \[ \exists x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigvee_{x}P\left(x\right) \] \[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigvee_{x\in X}P\left(x\right) \] である。
(1)全称命題
任意の\(x\)について命題\(P\)が成り立つとき\(\forall x,P\left(x\right)\)で表す。集合\(X\)の任意の元\(x\)について命題\(P\)が成り立つときは\(\forall x\in X,P\left(x\right)\)と表す。
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\forall x,x\in X\rightarrow P\left(x\right) \] \[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow x\in X\rightarrow P\left(x\right) \] \[ \forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigwedge_{x}P\left(x\right) \] \[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigwedge_{x\in X}P\left(x\right) \] である。
(2)存在命題
ある\(x\)が存在して命題\(P\)が成り立つとき\(\exists x,P\left(x\right)\)で表す。集合Xの元にxが存在し命題\(P\)が成り立つときは\(\exists x\in X,P\left(x\right)\)と表す。
\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,x\in X\land P\left(x\right) \] \[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x\in X\land P\left(x\right) \] \[ \exists x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigvee_{x}P\left(x\right) \] \[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bigvee_{x\in X}P\left(x\right) \] である。
(3)唯一存在命題
ただ１つだけ命題\(P\)が成り立つ元\(x\)が存在するときは\(\exists!x,P\left(x\right)\)で表す。量化子を表す記号として\(Q\)が使われることもある。
例えば\(QxP\left(x\right)\)と書いて\(\forall xP\left(x\right)\)または\(\exists xP\left(x\right)\)を表す。
例えば、
\[ \forall x\in\left\{ -1,1\right\} ,1\leq x^{2}\Leftrightarrow x\in\left\{ -1,1\right\} \land1\leq x^{2} \] の左辺は真であるが、右辺は\(x=2\)とすると偽となる。
例えば、
\[ \exists x\in\emptyset,x=1\Leftrightarrow\exists x,x\in\emptyset\rightarrow x=1 \] の左辺は偽であるが、右辺は真となる。
\begin{align*} \lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right) & =\lnot\left(\exists x,x\in X\land P\left(x\right)\right)\\ & =\forall x,x\notin X\lor\lnot P\left(x\right)\\ & =\forall x,x\in X\rightarrow\lnot P\left(x\right)\\ & =\forall x\in X,\lnot P\left(x\right) \end{align*}
例えば\(QxP\left(x\right)\)と書いて\(\forall xP\left(x\right)\)または\(\exists xP\left(x\right)\)を表す。
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適当な元は適切な元という意味で、何も考えずに選んだ元、言い換えると任意の元という意味ではありません。-
\[ \forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow x\in X\land P\left(x\right) \] ではないので注意。例えば、
\[ \forall x\in\left\{ -1,1\right\} ,1\leq x^{2}\Leftrightarrow x\in\left\{ -1,1\right\} \land1\leq x^{2} \] の左辺は真であるが、右辺は\(x=2\)とすると偽となる。
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\[ \exists x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,x\in X\rightarrow P\left(x\right) \] ではないので注意。例えば、
\[ \exists x\in\emptyset,x=1\Leftrightarrow\exists x,x\in\emptyset\rightarrow x=1 \] の左辺は偽であるが、右辺は真となる。
-
定義より否定は次のようになる。\begin{align*} \lnot\left(\exists x\in X,P\left(x\right)\right) & =\lnot\left(\exists x,x\in X\land P\left(x\right)\right)\\ & =\forall x,x\notin X\lor\lnot P\left(x\right)\\ & =\forall x,x\in X\rightarrow\lnot P\left(x\right)\\ & =\forall x\in X,\lnot P\left(x\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 量化記号(全称命題・存在命題)の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/snevus5q/ |
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論理演算同士の関係
\begin{align*}
P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot P\uparrow\lnot Q\\
& \Leftrightarrow\lnot P\rightarrow Q\\
& \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot Q\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(P\downarrow Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nrightarrow Q\right)\\
& \Leftrightarrow\lnot\left(P\nleftarrow Q\right)
\end{align*}
全称命題と存在命題の否定と部分否定・全否定
\[
\lnot\forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,\lnot P\left(x\right)
\]
3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right)
\]
存在命題(論理和)と全称命題(論理積)の順序変更
\[
\exists x\in X,\forall y\in Y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\in Y,\exists x\in X,P\left(x,y\right)
\]