反復コンウェイのチェーン表記
反復コンウェイのチェーン表記
\[ f\left(x\right)=X\rightarrow\left(x\right)\rightarrow q \] とすると、
\[ X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)=f^{p\circ}\left(X\right) \] となる。
\[ f\left(x\right)=X\rightarrow\left(x\right)\rightarrow q \] とすると、
\[ X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)=f^{p\circ}\left(X\right) \] となる。
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\(\rightarrow\)はコンウェイのチェーン表記\begin{align*}
X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right) & =f\left(\left[X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)\right]_{p\rightarrow p-1}\right)\\
& =\left[f\left(X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)\right)\right]_{p\rightarrow p-1}\\
& =\left[f^{p\circ}\left(X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)\right)\right]_{p\rightarrow0}-\sum_{k=0}^{p-1}\left[\left[f^{\left(k+1\right)\circ}\left(X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)\right)\right]_{p\rightarrow p-\left(k+1\right)}-\left[f^{k\circ}\left(X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)\right)\right]_{p\rightarrow p-k}\right]\\
& =\left[f^{p\circ}\left(X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)\right)\right]_{p\rightarrow0}\\
& =f^{p\circ}\left(X\rightarrow1\rightarrow\left(q+1\right)\right)\\
& =f^{p\circ}\left(X\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 反復コンウェイのチェーン表記 |
| URL | https://www.nomuramath.com/sthmu0z7/ |
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コンウェイのチェーン表記の優先順位
\begin{align*}
& a\rightarrow\left(b\rightarrow c\right)\\
& a\rightarrow b\rightarrow c\\
& \left(a\rightarrow b\right)\rightarrow c
\end{align*}
コンウェイのチェーン表記の定義
\[
X\rightarrow\left(a+1\right)\rightarrow\left(b+1\right)=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow a\rightarrow\left(b+1\right)\right\} \rightarrow b
\]
クヌースの矢印表記の定義
\[
a\uparrow^{n}b:=\begin{cases}
ab & n=0\\
1 & n\geq1\;\land\;b=0\\
\underbrace{a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots\uparrow^{n-1}a}_{b\;copies\;of\;a} & otherwise
\end{cases}
\]
ハイパー演算子の結合法則
\[
a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c
\]