ディリクレの収束定理

by nomura · 2025年4月13日

ディリクレの収束定理
\(f\left(x\right)\)をフーリエ級数展開で表した関数\(F\left(x\right)\)は以下の値に収束する。
\[ F\left(x\right)=\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\frac{f\left(x-\epsilon\right)+f\left(x+\epsilon\right)}{2} \]

(1)

周期\(2\pi\)の区間\(\left[\pi,\pi\right]\)で定義された関数\(f\left(x\right)=\sgn\left(x\right)\)は\(x=-\pi,0,\pi\)で不連続点である。
\(f\left(x\right)\)のフーリエ級数展開\(F\left(x\right)\)は
\[ F\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{\pi\left(2k-1\right)}\sin\left(\left(2k-1\right)x\right) \] となり不連続点である\(x=-\pi,0,\pi\)では\(F\left(-\pi\right)=F\left(0\right)=F\left(\pi\right)=0\)となる。
また、与式から\(F\left(-\pi\right),F\left(0\right),F\left(\pi\right)\)を求めると、
\begin{align*} F\left(-\pi\right) & =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\frac{f\left(-\pi+\epsilon\right)+f\left(-\pi-\epsilon\right)}{2}\\ & =\frac{1+\left(-1\right)}{2}\\ & =0 \end{align*} \begin{align*} F\left(0\right) & =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\frac{f\left(0-\epsilon\right)+f\left(0+\epsilon\right)}{2}\\ & =\frac{-1+1}{2}\\ & =0 \end{align*} \begin{align*} F\left(\pi\right) & =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\frac{f\left(\pi+\epsilon\right)+f\left(\pi-\epsilon\right)}{2}\\ & =\frac{-1+1}{2}\\ & =0 \end{align*} が成り立っている。

(2)

周期\(2\pi\)の区間\(\left[\pi,\pi\right]\)で定義された関数\(f\left(x\right)=x^{2}\)は\(x=\pi\)で不連続点である。
\(f\left(x\right)\)のフーリエ級数展開\(F\left(x\right)\)は
\[ F\left(x\right)=\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k^{2}}\cos\left(kx\right) \] となり不連続点である\(x=\pi\)では
\begin{align*} F\left(\pi\right) & =\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k^{2}}\cos\left(k\pi\right)\\ & =\frac{\pi^{2}}{3}+4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k^{2}}\left(-1\right)^{k}\\ & =\frac{\pi^{2}}{3}+4\zeta\left(2\right) \end{align*} となる。
また、与式から\(F\left(\pi\right)\)を求めると、
\begin{align*} F\left(\pi\right) & =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\frac{f\left(\pi+\epsilon\right)+f\left(\pi-\epsilon\right)}{2}\\ & =\frac{\pi^{2}+\pi^{2}}{2}\\ & =\pi^{2} \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} \pi^{2} & =F\left(\pi\right)\\ & =\frac{\pi^{2}}{3}+4\zeta\left(2\right) \end{align*} となり、これを\(\zeta\left(2\right)\)について解くと、
\begin{align*} \zeta\left(2\right) & =\frac{1}{4}\left(\pi^{2}-\frac{\pi^{2}}{3}\right)\\ & =\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\pi^{2}\\ & =\frac{\pi^{2}}{6} \end{align*} となるので\(\zeta\left(2\right)\)が求まる。

\begin{align*} F\left(x\right) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{ikx}\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=-n}^{n}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(t\right)e^{-ikt}dte^{ikx}\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(t\right)\sum_{k=-n}^{n}e^{-ik\left(t-x\right)}dt\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(t\right)D_{n}\left(t-x\right)dt\cmt{D_{n}\left(x\right)\text{はディリクレ核}}\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-x-\pi}^{-x+\pi}f\left(x+t\right)D_{n}\left(t\right)dt\cmt{t-x\rightarrow t}\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(t+x\right)D_{n}\left(t\right)dt\cmt{\because f\left(x+2\pi\right)=f\left(x\right),D_{n}\left(x+2\pi\right)=D_{n}\left(x\right)}\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-\pi}^{0}f\left(t+x\right)D_{n}\left(t\right)dt+\int_{0}^{\pi}f\left(t+x\right)D_{n}\left(t\right)dt\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ -\int_{\pi}^{0}f\left(-t+x\right)D_{n}\left(-t\right)dt+\int_{0}^{\pi}f\left(t+x\right)D_{n}\left(t\right)dt\right\} \\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ \int_{0}^{\pi}f\left(x-t\right)D_{n}\left(t\right)dt+\int_{0}^{\pi}f\left(x+t\right)D_{n}\left(t\right)dt\right\} \\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\pi}\left\{ f\left(x-t\right)+f\left(x+t\right)\right\} D_{n}\left(t\right)dt\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\pi}\left\{ f\left(x-t\right)+f\left(x+t\right)\right\} \frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)t\right\} }{\sin\frac{t}{2}}dt\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\left\{ \int_{0}^{\epsilon}\left\{ f\left(x-t\right)+f\left(x+t\right)\right\} \frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)t\right\} }{\sin\frac{t}{2}}dt+\int_{\epsilon}^{\pi}\frac{\left\{ f\left(x-t\right)+f\left(x+t\right)\right\} }{\sin\frac{t}{2}}\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)t\right\} dt\right\} \\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\int_{0}^{\epsilon}\left\{ f\left(x-t\right)+f\left(x+t\right)\right\} \frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)t\right\} }{\sin\frac{t}{2}}dt\cmt{\text{リーマン・ルベーグの定理}}\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\int_{0}^{\epsilon}\left\{ \left(\frac{f\left(x-t\right)-f\left(x-\epsilon\right)}{t-\epsilon}+\frac{f\left(x+t\right)-f\left(x+\epsilon\right)}{t-\epsilon}\right)\frac{t-\epsilon}{\sin\frac{t}{2}}\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)t\right\} +\left(f\left(x-\epsilon\right)+f\left(x+\epsilon\right)\right)\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)t\right\} }{\sin\frac{t}{2}}\right\} dt\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\int_{0}^{\epsilon}\left(f\left(x-\epsilon\right)+f\left(x+\epsilon\right)\right)\frac{\sin\left\{ \left(n+\frac{1}{2}\right)t\right\} }{\sin\frac{t}{2}}dt\cmt{\text{リーマン・ルベーグの定理}}\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\left(f\left(x-\epsilon\right)+f\left(x+\epsilon\right)\right)\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\epsilon}D_{n}\left(t\right)dt\\ & =\frac{1}{2\pi}\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\left(f\left(x-\epsilon\right)+f\left(x+\epsilon\right)\right)2\pi\int_{0}^{\epsilon}\mathrm{comb}_{2\pi}\left(t\right)dt\\ & =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\left(f\left(x-\epsilon\right)+f\left(x+\epsilon\right)\right)\int_{0}^{\epsilon}\delta\left(t\right)dt\\ & =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\left(f\left(x-\epsilon\right)+f\left(x+\epsilon\right)\right)\frac{1}{2}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta\left(t\right)dt\\ & =\lim_{\epsilon\rightarrow+0}\frac{f\left(x-\epsilon\right)+f\left(x+\epsilon\right)}{2} \end{align*} となるので与式は成り立つ。