フィボナッチ数の負整数での値
フィボナッチ数の負整数での値
フィボナッチ数は漸化式を全ての整数に対し成り立つとしたとき、負の整数の値まで拡張される。
\[ F_{-n}=\left(-1\right)^{n+1}F_{n} \]
フィボナッチ数は漸化式を全ての整数に対し成り立つとしたとき、負の整数の値まで拡張される。
\[ F_{-n}=\left(-1\right)^{n+1}F_{n} \]
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\(F_{n}\)はフィボナッチ数(1)
\begin{align*} F_{-1} & =\left(-1\right)^{1+1}F_{1}\\ & =1 \end{align*}(2)
\begin{align*} F_{-2} & =\left(-1\right)^{2+1}F_{2}\\ & =-1 \end{align*}(0)
\begin{align*} F_{-n} & =\frac{1}{F_{n-1}}\left(F_{n-n}-F_{n}F_{-n+1}\right)\cmt{\because F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1}}\\ & =-\frac{F_{n}}{F_{n-1}}F_{-n+1}\\ & =-\frac{F_{n}}{F_{n-1}}\LHS\left(n\rightarrow n-1\right)\\ & =-\frac{F_{n}}{F_{n-1}}F_{-1}\prod_{k=1}^{n}\frac{\LHS\left(n\rightarrow n-k\right)}{\LHS\left(n\rightarrow n-k-1\right)}\\ & =-\frac{F_{n}}{F_{n-1}}F_{-1}\prod_{k=1}^{n}\left(-\frac{F_{n-k}}{F_{n-k-1}}\right)\\ & =\left(-1\right)^{n+1}\frac{F_{n}}{F_{n-1}}F_{-1}\frac{F_{n-1}}{F_{n-n-1}}\\ & =\left(-1\right)^{n+1}F_{n} \end{align*}(0)-2
\(n=0\)のとき
明らかに成立。\(n=k+1\)のとき
\(n=k\)まで成り立つと仮定すると、\begin{align*} F_{-\left(n+1\right)} & =F_{-n+1}-F_{-n}\\ & =\left(-1\right)^{n}F_{n-1}-\left(-1\right)^{n+1}F_{n}\\ & =\left(-1\right)^{n}\left(F_{n-1}+F_{n}\right)\\ & =\left(-1\right)^{\left(n+1\right)+1}F_{n+1} \end{align*} となるので\(n=k+1\)で成り立つ。
故に数学的帰納法より与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | フィボナッチ数の負整数での値 |
| URL | https://www.nomuramath.com/t2bhwbbh/ |
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フィボナッチ数列の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1
\]
フィボナッチ数列の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k}=\frac{x}{1-x-x^{2}}
\]
フィボナッチ数列と2項係数
\[
F_{n+1}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n-k,k\right)
\]
カッシーニ・シムソンの定理
\[
F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n}
\]