2年生の夢(高さ2のテトレーションの0から1までの定積分)
2年生の夢(高さ2のテトレーションの0から1までの定積分)
\[ \int_{0}^{1}\frac{1}{x\uparrow^{2}2}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\uparrow^{2}2} \]
\[ \int_{0}^{1}x\uparrow^{2}2dx=-\sum_{k=1}^{\infty}\left(-k\right)\uparrow^{2}2 \]
(1)
\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}dx & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{k}}\\ & =1.291\;285\;997\;062\;663\cdots \end{align*} テトレーション表示\[ \int_{0}^{1}\frac{1}{x\uparrow^{2}2}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\uparrow^{2}2} \]
(2)
\begin{align*} \int_{0}^{1}x^{x}dx & =-\sum_{k=1}^{\infty}\left(-k\right)^{-k}\\ & =0.783\;430\;510\;712\;134\cdots \end{align*} テトレーション表示\[ \int_{0}^{1}x\uparrow^{2}2dx=-\sum_{k=1}^{\infty}\left(-k\right)\uparrow^{2}2 \]
-
\(x\uparrow^{2}n\)はクヌースの矢印表記(1)
\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}dx & =\int_{0}^{1}e^{-x\log x}dx\\ & =\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k}\log^{k}x}{k!}dx\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\int_{0}^{1}x^{k}\log^{k}xdx\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\int_{\infty}^{0}e^{-ky}\left(-y\right)^{k}e^{-y}\left(-1\right)dy\cmt{x=e^{-y}}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\int_{0}^{\infty}e^{-\left(k+1\right)y}\left(-y\right)^{k}dy\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\int_{0}^{\infty}e^{-\left(k+1\right)y}y^{k}dy\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!\left(k+1\right)^{k+1}}\int_{0}^{\infty}e^{-y}y^{k}dy\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!\left(k+1\right)^{k+1}}k!\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(k+1\right)^{k+1}}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{k}} \end{align*}(2)
\begin{align*} \int_{0}^{1}x^{x}dx & =\int_{0}^{1}e^{x\log x}dx\\ & =\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}\log^{k}x}{k!}dx\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\int_{0}^{1}x^{k}\log^{k}xdx\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\int_{\infty}^{0}e^{-ky}\left(-y\right)^{k}e^{-y}\left(-1\right)dy\cmt{x=e^{-y}}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\int_{0}^{\infty}e^{-\left(k+1\right)y}y^{k}dy\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!\left(k+1\right)^{k+1}}\int_{0}^{\infty}e^{-y}y^{k}dy\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!\left(k+1\right)^{k+1}}k!\\ & =-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{\left(k+1\right)^{k+1}}\\ & =-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k^{k}}\\ & =-\sum_{k=1}^{\infty}\left(-k\right)^{-k} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 2年生の夢(高さ2のテトレーションの0から1までの定積分) |
| URL | https://www.nomuramath.com/t3qak7ep/ |
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ハイパー演算子の結合法則
\[
a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c
\]
テトレーションの微分
\[
\frac{d}{dz}\left(z\uparrow^{2}n\right)=\frac{1}{z}\sum_{k=1}^{n}\left(\log^{k-1}z\right)\prod_{j=n-k}^{n}\left(z\uparrow^{2}j\right)
\]
ハイバー演算子の定義
\[
H_{n}\left(a,b\right):=\begin{cases}
b+1 & n=0\\
a+b & n=1\\
\underbrace{a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b\;copies\;of\;a} & n=2,3,\cdots
\end{cases}
\]
ハイバー演算子とクヌースの矢印表記の関係
\[
H_{n}\left(a,b\right)=a\uparrow^{n-2}b\;,\;n\in\mathbb{Z}
\]