2年生の夢(高さ2のテトレーションの0から1までの定積分)
2年生の夢(高さ2のテトレーションの0から1までの定積分)
\[ \int_{0}^{1}\frac{1}{x\uparrow^{2}2}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\uparrow^{2}2} \]
\[ \int_{0}^{1}x\uparrow^{2}2dx=-\sum_{k=1}^{\infty}\left(-k\right)\uparrow^{2}2 \]
(1)
\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}dx & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{k}}\\ & =1.291\;285\;997\;062\;663\cdots \end{align*} テトレーション表示\[ \int_{0}^{1}\frac{1}{x\uparrow^{2}2}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k\uparrow^{2}2} \]
(2)
\begin{align*} \int_{0}^{1}x^{x}dx & =-\sum_{k=1}^{\infty}\left(-k\right)^{-k}\\ & =0.783\;430\;510\;712\;134\cdots \end{align*} テトレーション表示\[ \int_{0}^{1}x\uparrow^{2}2dx=-\sum_{k=1}^{\infty}\left(-k\right)\uparrow^{2}2 \]
-
\(x\uparrow^{2}n\)はクヌースの矢印表記(1)
\begin{align*} \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}dx & =\int_{0}^{1}e^{-x\log x}dx\\ & =\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-x\right)^{k}\log^{k}x}{k!}dx\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\int_{0}^{1}x^{k}\log^{k}xdx\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\int_{\infty}^{0}e^{-ky}\left(-y\right)^{k}e^{-y}\left(-1\right)dy\cmt{x=e^{-y}}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\int_{0}^{\infty}e^{-\left(k+1\right)y}\left(-y\right)^{k}dy\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\int_{0}^{\infty}e^{-\left(k+1\right)y}y^{k}dy\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!\left(k+1\right)^{k+1}}\int_{0}^{\infty}e^{-y}y^{k}dy\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!\left(k+1\right)^{k+1}}k!\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(k+1\right)^{k+1}}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{k}} \end{align*}(2)
\begin{align*} \int_{0}^{1}x^{x}dx & =\int_{0}^{1}e^{x\log x}dx\\ & =\int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}\log^{k}x}{k!}dx\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\int_{0}^{1}x^{k}\log^{k}xdx\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\int_{\infty}^{0}e^{-ky}\left(-y\right)^{k}e^{-y}\left(-1\right)dy\cmt{x=e^{-y}}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\int_{0}^{\infty}e^{-\left(k+1\right)y}y^{k}dy\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!\left(k+1\right)^{k+1}}\int_{0}^{\infty}e^{-y}y^{k}dy\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!\left(k+1\right)^{k+1}}k!\\ & =-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{\left(k+1\right)^{k+1}}\\ & =-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k^{k}}\\ & =-\sum_{k=1}^{\infty}\left(-k\right)^{-k} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2年生の夢(高さ2のテトレーションの0から1までの定積分) |
| URL | https://www.nomuramath.com/t3qak7ep/ |
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コンウェイのチェーン表記の基本
\[
a\rightarrow0\rightarrow b=1-\delta_{0b}
\]
コンウェイのチェーン表記の定義
\[
X\rightarrow\left(a+1\right)\rightarrow\left(b+1\right)=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow a\rightarrow\left(b+1\right)\right\} \rightarrow b
\]
アッカーマン関数の定義と解
\[
A\left(m,n\right)=2\uparrow^{m-2}\left(n+3\right)-3
\]
ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値
\[
2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n}
\]