実数列の上極限と下極限の定義
実数列の上極限と下極限の定義
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があるとする。
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k} \] で定義される。
\(\sup_{k\geq n}a_{k}\)は\(n\)について単調減少列なので
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}a_{k}\\ & =\inf\left\{ \sup\left\{ a_{k};k\geq n\right\} ;n\in\mathbb{N}\right\} \end{align*} と同じである。
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}a_{k} \] で定義される。
\(\inf_{k\geq n}a_{k}\)は\(n\)について単調増加列なので
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\inf_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}a_{k}\\ & =\sup\left\{ \inf\left\{ a_{k};k\geq n\right\} ;n\in\mathbb{N}\right\} \end{align*} と同じである。
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があるとする。
(1)上極限
上極限は\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k} \] で定義される。
\(\sup_{k\geq n}a_{k}\)は\(n\)について単調減少列なので
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}a_{k}\\ & =\inf\left\{ \sup\left\{ a_{k};k\geq n\right\} ;n\in\mathbb{N}\right\} \end{align*} と同じである。
(2)下極限
上極限は\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}a_{k} \] で定義される。
\(\inf_{k\geq n}a_{k}\)は\(n\)について単調増加列なので
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\inf_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}a_{k}\\ & =\sup\left\{ \inf\left\{ a_{k};k\geq n\right\} ;n\in\mathbb{N}\right\} \end{align*} と同じである。
\[
a_{n}=\left(-1\right)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)
\]
とすると、
上極限は
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}\left(-1\right)^{k}\left(1+\frac{1}{k}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},2k\geq n\right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},2k-1\geq n\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-1\right)^{2\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\right)\\ & =1 \end{align*} 下極限は
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left(-1\right)^{k}\left(1+\frac{1}{k}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},2k\geq n\right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},2k-1\geq n\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-1\right)^{2\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil -1}\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil -1}\right)\\ & =-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil -1}\right)\\ & =-1 \end{align*} となる。
上極限は
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}\left(-1\right)^{k}\left(1+\frac{1}{k}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},2k\geq n\right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},2k-1\geq n\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-1\right)^{2\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil }\right)\\ & =1 \end{align*} 下極限は
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left(-1\right)^{k}\left(1+\frac{1}{k}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},2k\geq n\right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},2k-1\geq n\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf\left\{ \left(-1\right)^{2k}\left(1+\frac{1}{2k}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \right\} \cup\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf\left\{ \left(-1\right)^{2k-1}\left(1+\frac{1}{2k-1}\right);k\in\mathbb{N},k\geq\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil \right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-1\right)^{2\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil -1}\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil -1}\right)\\ & =-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{2\left\lceil \frac{n+1}{2}\right\rceil -1}\right)\\ & =-1 \end{align*} となる。
ページ情報
| タイトル | 実数列の上極限と下極限の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/tfnapl0o/ |
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条件収束と絶対収束の定義
数列$\left\{ a_{n}\right\} $の各項$a_{n}$の絶対値をとった総和が$\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|<\infty$となるとき、$\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}$は絶対収束するという。
絶対収束する級数は収束する
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{n}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{n}\text{は収束する}
\]
上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係
\[
\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)
\]
極限と積分・微分の順序変更
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx
\]