離散距離は距離空間

by nomura · 2023年5月2日

離散距離は距離空間
集合$X$に対し距離$d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$を
\[ d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases} 0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\ 1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y} \end{cases} \] で定めると、$d_{\delta}$は距離空間になる。
この距離を離散距離、距離空間を離散距離空間という。

非退化性

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$のとき、明らかに$d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0$となるので$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0$
$d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0$のとき、明らかに$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$なので、$d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$となる。
故に$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0$となり非退化性は満たされる。

対称性

\begin{align*} d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\begin{cases} 0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\ 1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y} \end{cases}\\ & =d_{\delta}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。

3角不等式

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{z}$のとき、
\begin{align*} d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =0\\ & \leq d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{\delta}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となる。
$\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{z}$のとき、
$\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y}$または$\boldsymbol{y}\ne\boldsymbol{z}$なので、$d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=1$または$d_{\delta}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)=1$となるので、
\begin{align*} d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =1\\ & \leq d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{\delta}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となる。
故に$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$でも$\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{z}$でも3角不等式を満たす。