カントールの区間縮小法

by nomura · 2024年4月7日

カントールの区間縮小法
閉区間$I_{n}=\left[a_{n},b_{n}\right],\left(n\in\mathbb{N}\right)$が$I_{n}\supseteq I_{n+1}$を満たし、$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0$となるとき、$\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}=\left\{ \alpha\right\} $となる$\alpha$が存在する。
ここで$\alpha=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}$である。

$a_{n}$は有界で単調増加数列であるので$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha$となる$\alpha$が存在する。
同様に$b_{n}$は有界で単調減少数列であるので$\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\beta$となる$\beta$が存在する。
$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=\beta-\alpha=0$なので$\alpha=\beta$となる。
任意の$n$に対し$a_{n}\leq\alpha\leq b_{n}$となるので$\alpha\in I_{n}$となり、$\lim_{n\rightarrow\infty}I_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[a_{n},b_{n}\right]=\alpha$となる。
これより、題意は成り立つ。