対称な5次方程式

\begin{align*} 0 & =\left(x+y\right)^{5}-x^{5}-y^{5}\\ & =\left(\sum_{k=0}^{5}C\left(5,k\right)x^{5-k}y^{k}\right)-x^{5}-y^{5}\\ & =x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}-x^{5}-y^{5}\\ & =5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}\\ & =5xy\left(x^{3}+2x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}\right)\\ & =5xy\left(\left(x+y\right)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)+2xy\left(x+y\right)\right)\\ & =5xy\left(x+y\right)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)\\ & =5xy\left(x+y\right)\left(\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}y\right)^{2}\right) \end{align*} となる。
\(x,y\)は実数なので\(\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}y\right)^{2}=0\)となるためには第2項より\(y=0\)となり、第1項より\(x=0\)となるので\(x=0\land y=0\)である。
これより\(xy=0\lor x+y=0\lor\left(x=0\land y=0\right)\)となるとき、0となる。
従って\(x=0\lor y=0\lor x=-y\)のとき与式を満たすので\(x=0\lor y=0\lor\left(\forall a\in\mathbb{R},x=a\land y=-a\right)\)のとき与式は成り立つ。