ガンマ関数と階乗の関係

by nomura · 2020年6月25日

\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とすると、以下が成り立つ。
\[ \Gamma(n+1)=n! \]

\begin{align*} \Gamma(n+1) & =\Gamma(1)\prod_{k=1}^{n}k\\ & =n! \end{align*}

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タイトル	ガンマ関数と階乗の関係
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第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式

\[ \Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \]

ガンマ関数の1/2値

\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \]

ディガンマ関数・ポリガンマ関数の漸化式・正整数値・半正整数値

\[ \psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z} \]

第1種・第2種不完全ガンマ関数の定義

\[ \Gamma\left(a,x\right)=\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt \]