3角関数と3角関数の対数の積分
3角関数と3角関数の対数の積分
次の積分が成り立つ。
次の積分が成り立つ。
(1)
\[ \int\sin\left(z\right)\log\left(\sin z\right)dz=-\cos z\log\sin z+\cos z+\log\left(\sin\frac{z}{2}\right)-\log\left(\cos\frac{z}{2}\right)+C \](2)
\[ \int\cos\left(z\right)\log\left(\sin z\right)dz=\sin z\log\left(\sin z\right)-\sin z+C \](3)
\[ \int\cos\left(z\right)\log\left(\cos z\right)dz=\sin z\log\cos z-\sin z-\log\left(\cos\frac{z}{2}-\sin\frac{z}{2}\right)+\log\left(\cos\frac{z}{2}+\sin\frac{z}{2}\right)+C_{1} \](4)
\[ \int\sin\left(z\right)\log\left(\cos z\right)dz=-\cos z\log\left(\cos z\right)+\cos z+C \](1)
\begin{align*} \int\sin\left(z\right)\log\left(\sin z\right)dz & =-\cos z\log\sin z+\int\frac{\cos^{2}z}{\sin z}dz\\ & =-\cos z\log\sin z+\int\frac{1-\sin^{2}z}{\sin z}dz\\ & =-\cos z\log\sin z+\int\left(\frac{1}{\sin z}-\sin z\right)dz\\ & =-\cos z\log\sin z+\cos z+\int\frac{\sin z}{\sin^{2}z}dz\\ & =-\cos z\log\sin z+\cos z+\int\frac{\sin z}{1-\cos^{2}z}dz\\ & =-\cos z\log\sin z+\cos z+\frac{1}{2}\int\left(\frac{\sin z}{1-\cos z}+\frac{\sin z}{1+\cos z}\right)dz\\ & =-\cos z\log\sin z+\cos z+\frac{1}{2}\left(\log\left(1-\cos z\right)-\log\left(1+\cos z\right)\right)+C\\ & =-\cos z\log\sin z+\cos z+\frac{1}{2}\left(\log\left(2\sin^{2}\frac{z}{2}\right)-\log\left(2\cos^{2}\frac{z}{2}\right)\right)+C\\ & =-\cos z\log\sin z+\cos z+\frac{1}{2}\log\left(\sin^{2}\frac{z}{2}\right)-\frac{1}{2}\log\left(\cos^{2}\frac{z}{2}\right)+C\\ & =-\cos z\log\sin z+\cos z+\log\left(\sin\frac{z}{2}\right)-\log\left(\cos\frac{z}{2}\right)+C_{1} \end{align*}(2)
\begin{align*} \int\cos\left(z\right)\log\left(\sin z\right)dz & =\sin z\log\left(\sin z\right)-\int\frac{\sin z\cos z}{\sin z}dz\\ & =\sin z\log\left(\sin z\right)-\int\cos zdz\\ & =\sin z\log\left(\sin z\right)-\sin z+C \end{align*}(3)
\begin{align*} \int\cos\left(z\right)\log\left(\cos z\right)dz & =\sin z\log\cos z+\int\frac{\sin^{2}z}{\cos z}dz\\ & =\sin z\log\cos z+\int\frac{1-\cos^{2}z}{\cos z}dz\\ & =\sin z\log\cos z+\int\left(\frac{1}{\cos z}-\cos z\right)dz\\ & =\sin z\log\cos z-\sin z+\int\frac{\cos z}{\cos^{2}z}dz\\ & =\sin z\log\cos z-\sin z+\int\frac{\cos z}{1-\sin^{2}z}dz\\ & =\sin z\log\cos z-\sin z+\frac{1}{2}\int\left(\frac{\cos z}{1-\sin z}+\frac{\cos z}{1+\sin z}\right)dz\\ & =\sin z\log\cos z-\sin z+\frac{1}{2}\left(-\log\left(1-\sin z\right)+\log\left(1+\sin z\right)\right)+C\\ & =\sin z\log\cos z-\sin z-\frac{1}{2}\log\left(\left(\cos\frac{z}{2}-\sin\frac{z}{2}\right)^{2}\right)+\frac{1}{2}\log\left(\left(\cos\frac{z}{2}+\sin\frac{z}{2}\right)^{2}\right)+C\\ & =\sin z\log\cos z-\sin z-\log\left(\cos\frac{z}{2}-\sin\frac{z}{2}\right)+\log\left(\cos\frac{z}{2}+\sin\frac{z}{2}\right)+C_{1} \end{align*}(4)
\begin{align*} \int\sin\left(z\right)\log\left(\cos z\right)dz & =-\cos z\log\left(\cos z\right)-\int\frac{\cos z\sin z}{\cos z}dz\\ & =-\cos z\log\left(\cos z\right)-\int\sin zdz\\ & =-\cos z\log\left(\cos z\right)+\cos z+C \end{align*}ページ情報
| タイトル | 3角関数と3角関数の対数の積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ttuqei8e/ |
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分母分子にべき乗があり分母には定数が足されている定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a}}{c+x^{b}}dx=\frac{c^{\frac{a+1}{b}-1}}{b}\pi\sin^{-1}\left(\frac{a+1}{b}\pi\right)
\]
分母に2乗のルートがある積分
\[
\int\frac{1}{\sqrt{z^{2}+\alpha}}dz=\frac{\sqrt{\alpha}\sqrt{\frac{z^{2}}{\alpha}+1}}{\sqrt{z^{2}+\alpha}}\sinh^{\bullet}\frac{z}{\sqrt{\alpha}}+C
\]
(*)分母に1乗と2乗ルートの積分
\[
\int\frac{1}{\left(z+\alpha\right)\sqrt{z^{2}+\beta}}dz=\frac{\tanh^{\bullet}\left(\frac{\alpha z-\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}\sqrt{\beta+z^{2}}}\right)}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}}
\]