有理数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元

by nomura · 2023年10月15日

有理数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元
有理数全体の集合$\mathbb{Q}$の任意のデデキント切断$\left(A,B\right)$について$A$に最大元が存在するかしないかで2通り、$B$に最小元が存在するかしないかで2通りで合計4通りあるが、(1)は起こらないので(2)(3)(4)のうちどれかを満たす。

(1)

$A$に最大元、$B$に最小元がある。

(2)

$A$には最大元があるが、$B$には最小元がない。

(3)

$A$には最大元がないが、$B$には最小元がある。

(4)

$A$に最大元がなく、$B$にも最小元がない。

(1)

$\max A$と$\min B$が存在すると仮定する。
このとき、デデキント切断なので$\max A<\min B$となるが、$c=\frac{\max A+\min B}{2}$とおくと、$c\in\mathbb{Q}$であるが、$\max A<c<\min B$となる。
これより、$\max A<c$より、$c\notin A$となり、$c<\min B$より、$c\notin B$となるので、$c\notin A\cup B=\mathbb{Q}$となり矛盾。
故に$A$に最大元、$B$に最小元があることはない。

(2)

例で示す。
\[ A=\left\{ a\in\mathbb{Q};a\leq1\right\} ,B=\left\{ b\in\mathbb{Q};1<b\right\} \]

(3)

例で示す。
\[ A=\left\{ a\in\mathbb{Q};a<1\right\} ,B=\left\{ b\in\mathbb{Q};1\leq b\right\} \]

(4)

例で示す。
\[ A=\left\{ a\in\mathbb{Q};a<\sqrt{2}\right\} ,B=\left\{ b\in\mathbb{Q};\sqrt{2}<b\right\} \]

ページ情報

タイトル	有理数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元
URL	https://www.nomuramath.com/txz3pbw4/
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