ルベーグの被覆補題

by nomura · 2023年6月30日

ルベーグの被覆補題
距離空間$\left(X,d\right)$がコンパクト(または点列コンパクト)であり、任意の開被覆$\mathcal{U}$に対し、ある$\delta>0$が存在し、任意の部分集合$A\subseteq X$に対し、開被覆$\mathcal{U}$のある元$U\in\mathcal{U}$が存在し、$\diam\left(A\right)<\delta\rightarrow A\subseteq U$が成り立つ。
この$\delta$を開被覆$\mathcal{U}$のルベーグ数という。

通常距離をとり、$X=\left[0,3\right]$とするとコンパクト空間となる。
また、開被覆を$\left[0,2\right),\left(1,3\right]$として、$\delta=1$とする。
そうすると、$A=\left(0,1\right)$とすると$U=\left[0,2\right)$を選べば、$\diam\left(\left(0,1\right)\right)<1\rightarrow\left(0,1\right)\subseteq\left[0,2\right)$が成り立つ。
$A=\left[1,2\right)$とすると$U=\left[0,2\right)$を選べば、$\diam\left(\left[1,2\right)\right)<1\rightarrow\left[1,2\right)\subseteq\left[0,2\right)$が成り立つ。
$A=\left(1,2\right]$とすると$U=\left(1,3\right]$を選べば、$\diam\left(\left(1,2\right]\right)<1\rightarrow\left(1,2\right]\subseteq\left(1,3\right]$が成り立つ。
$A=\left(2,2\right]$とすると$U=\left(1,3\right]$を選べば、$\diam\left(\left(2,3\right]\right)<1\rightarrow\left(1,2\right]\subseteq\left(1,3\right]$が成り立つ。
となるように成り立つという意味である。

コンパクトの場合

$X$はコンパクトなので$\mathcal{U}$から有限個$\left\{ U_{k};k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \subseteq\mathcal{U}$を選び$X\subseteq\bigcup_{k=1}^{n}U_{k}$とできる。
ここで$f\left(x\right)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}d\left(x,X\setminus U_{k}\right)$とおくと、$f$はコンパクト集合上で連続なので最小値$\delta$が存在し、$\delta>0$となる。
このとき、$\diam\left(A\right)<\delta$とすると、任意の$x_{0}\in A$に対し、$A\subseteq B_{\delta}\left(x_{0}\right)$となる。
また、$\delta\leq f\left(x_{0}\right)$であるので、ある$m\in\left\{ 1,2,\cdots n\right\} $が存在し、$\delta\leq d\left(x_{0},X\setminus U_{m}\right)$を満たす。
従って、$\delta\leq d\left(x_{0},X\setminus U_{m}\right)\Leftrightarrow B_{\delta}\left(x_{0}\right)\cap X\setminus U_{m}=\emptyset\Leftrightarrow B_{\delta}\left(x_{0}\right)\subseteq U_{m}$となるので、$A\subseteq B_{\delta}\left(x_{0}\right)\subseteq U_{m}$となる。
故に$\diam\left(A\right)<\delta\rightarrow A\subseteq U_{m}$となり題意は成り立つ。

点列コンパクトの場合

背理法で示す。
ある開被覆$\mathcal{U}$が存在し、任意の$\delta>0$に対し、ある部分集合$A\subseteq X$が存在し、開被覆$\mathcal{U}$の任意の元$U\in\mathcal{U}$に対し、$\diam\left(A\right)<\delta\land A\nsubseteq U$が成り立つと仮定する。
このとき、任意の自然数$n\in\mathbb{N}$に対し、ある部分集合$A_{n}\subseteq X$が存在し、開被覆$\mathcal{U}$の任意の元$U\in\mathcal{U}$に対し、$\diam\left(A_{n}\right)<\frac{1}{n}\land A_{n}\nsubseteq U$が成り立つ。
ここで各$A_{n}$から1点$a_{n}$を選ぶと、その点列$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$は点列コンパクト空間なのである部分列$\left(a_{n\left(k\right)}\right)_{k\in\mathbb{N}}$が存在しある点$a$に収束する。
従って、開被覆$\mathcal{U}$のある元$U'\in\mathcal{U}$が存在し$a\in U'$を満たす。
これより、$U'$は$a$を含む開集合なので、$\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow A_{n}\subseteq U'$となるが仮定に矛盾。
故に背理法より題意は成り立つ。

ページ情報

タイトル	ルベーグの被覆補題
URL	https://www.nomuramath.com/u1mojgpt/
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距離空間での空集合・全体集合・1点集合

距離空間$\left(X,d\right)$で空集合$\emptyset$と全体集合$X$はどちらも開集合かつ閉集合となる。

pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間

\[ d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m} \]

距離空間でのε-近傍・開集合・閉集合・開集合全体の集合・開集合族の定義

\[ U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\} \]

距離空間での連続を開近傍を使って表現

\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right) \]