[2022年関西大学文系数学]3角関数の分数の最小値問題

\[ f\left(\theta\right)=\frac{2\sin\theta+4\cos\theta+5}{\sin\theta+\cos\theta+1} \] とおく。
\(t=\tan\frac{\theta}{2}\)とおくと、\(-\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\)は\(-1<t\)となり、\(\cos\theta=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\sin\theta=\frac{2t}{1+t^{2}}\)となるので、
\begin{align*} f\left(\theta\right) & =\frac{2\sin\theta+4\cos\theta+5}{\sin\theta+\cos\theta+1}\\ & =\frac{2\frac{2t}{1+t^{2}}+4\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+5}{\frac{2t}{1+t^{2}}+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+1}\\ & =\frac{2\left(2t\right)+4\left(1-t^{2}\right)+5\left(1+t^{2}\right)}{2t+1-t^{2}+1+t^{2}}\\ & =\frac{t^{2}+4t+9}{2t+2}\\ & =\frac{t^{2}+4t+9}{2\left(t+1\right)}\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{6}{t+1}+t+3\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{6}{t+1}+t+1+2\right)\\ & \geq\frac{1}{2}\left(2\sqrt{\frac{6}{t+1}\left(t+1\right)}+2\right)\cmt{\because0<t+1\text{より相加増乗平均}}\\ & =\frac{1}{2}\left(2\sqrt{6}+2\right)\\ & =\sqrt{6}+1 \end{align*} となる。
等号は
\[ \frac{6}{t+1}=t+1 \] のときでこれは、
\[ \left(t+1\right)^{2}=6 \] より、
\[ t+1=\pm\sqrt{6} \] となり移項すると、
\[ t=\pm\sqrt{6}-1 \] となるが、\(-1<t\)より、\(t=-\sqrt{6}-1<-1\)は不適なので、\(t=\sqrt{6}-1\)となる。
これより、
\begin{align*} \tan\frac{\theta}{2} & =t\\ & =\sqrt{6}-1 \end{align*} のとき最小値\(\sqrt{6}+1\)をとる。