整式

n乗根の因数分解

by nomura · 2022年3月24日

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n乗根の因数分解

n \in N_{0}

とする。

(1)

z^{n} - 1 = \prod_{k = 1}^{n} (z - e^{\frac{2 π}{n} k i})

(2)

z^{n} - α = \prod_{k = 1}^{n} (z - α^{\frac{1}{n}} e^{\frac{2 π}{n} k i})

(1)

z^{n} = 1

の解は

z_{k} = e^{\frac{2 π}{n} k i}, k = 1, \dots, n

であるので因数定理より、

z^{n} - 1 = \prod_{k = 1}^{n} (z - e^{\frac{2 π}{n} k i})

となる。

(2)

\begin{aligned} z^{n} - α & = α ({(α^{- \frac{1}{n}} z)}^{n} - 1) \\ = α \prod_{k = 1}^{n} (α^{- \frac{1}{n}} z - e^{\frac{2 π}{n} k i}) \\ = \prod_{k = 1}^{n} (z - α^{\frac{1}{n}} e^{\frac{2 π}{n} k i}) \end{aligned}

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タイトル	n乗根の因数分解
URL	https://www.nomuramath.com/uay44uwk/
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Δ (x_{1}, \dots, x_{n}) := \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_{i} - x_{j})