(1)

(2)より、弧状連結なので連結となる。

(1)-2

連結空間の連続写像による像は連結となるので(2)と同様にすればいい。

(1)-3

直接証明する。
補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)は非連結と仮定する。
非連結なので全体集合\(\mathbb{R}\)でも空集合\(\emptyset\)でもないある部分集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)が存在し、開集合かつ閉集合となる。
しかし、補有限位相なので、\(A\)が開集合であれば\(\left|A^{c}\right|<\infty\)となり、\(A\)が閉集合であれば\(A^{c}\)が開集合なので\(\left|A\right|<\infty\)となるので、\(\left|\mathbb{R}\right|=\left|A\cup A^{c}\right|=\left|A\right|+\left|A^{c}\right|<\infty\)となり矛盾。
これより、非連結という仮定が間違いで背理法より連結となる。

(2)

補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)は通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)より弱い位相\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}\)であるので、\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)から\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)への恒等写像\(f:\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\rightarrow\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)は連続写像になる。
通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)では弧状連結なので連続写像による像も弧状連結となる。
従って題意は成り立つ。

(2)-2

直接証明する。
\(a,b\in\mathbb{R}\)をとり、写像\(f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R},t\mapsto f\left(t\right)=a+\left(b-a\right)t\)をとると、\(f\left(0\right)=a,f\left(1\right)=b\)となる。
このとき写像\(f\)が連続写像になれば弧状連結になるので、連続写像であることを示す。
\(a=b\)のとき、\(0\leq t\leq1\rightarrow f\left(t\right)=a\)となり、定値写像となるので連続写像となる。
\(a\ne b\)のとき、\(f\)は単射となり、\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)の閉集合全体の集合を\(\mathcal{F}_{c}\)とする。
任意の\(F_{c}\in\mathcal{F}_{c}\)に対し、\(F_{c}\)は有限集合で\(f\)は単射なので逆像\(f^{\bullet}\left(F_{c}\right)\)は有限個の1点集合の和集合なので閉集合となり\(f\)は連続写像となる。
これより、\(a=b\)のときも\(a\ne b\)のときも、任意の\(a,b\)に対して\(f\)は連続写像となるので\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)は弧状連結となる。