(1)

\(m\ne0\)のとき、
\begin{align*} \pi\left(m,n\right)+1 & =\frac{\left(m+n\right)\left(m+n+1\right)}{2}+n+1\\ & =\frac{\left(\left(m-1\right)+\left(n+1\right)\right)\left(\left(m-1\right)+\left(n+1\right)+1\right)}{2}+\left(n+1\right)\\ & =\pi\left(m-1,n+1\right) \end{align*} \(m=0\)のとき、
\begin{align*} \pi\left(0,n\right)+1 & =\frac{n\left(n+1\right)}{2}+n+1\\ & =\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}{2}\\ & =\frac{\left(0+\left(n+1\right)\right)\left(0+\left(n+1\right)+1\right)}{2}+0\\ & =\pi\left(n+1,0\right) \end{align*} 故に与式は成り立つ。

(2)

\(n\ne0\)のとき、
(1)より、
\begin{align*} \pi\left(m,n\right) & =\pi\left(m-1,n+1\right)-1\\ & =\pi\left(m+1,n-1\right)+1 \end{align*} これより、
\[ \pi\left(m,n\right)-1=\pi\left(m+1,n-1\right) \] \(n=0\land m\ne0\)のとき、
(1)より、
\[ \pi\left(m,0\right)-1=\pi\left(0,m-1\right) \] \(n=0\land m=0\)のとき、
\[ \pi\left(0,0\right)-1=-1 \] これより、
\[ \pi\left(m,n\right)-1=\begin{cases} \pi\left(m+1,n-1\right) & n\ne0\\ \pi\left(0,m-1\right) & n=0\land m\ne0\\ -1 & n=0\land m=0 \end{cases} \] となるので、与式は成り立つ。

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漸化式から関数を導出してみる。
\(m\ne0\)のとき、
\begin{align*} \pi\left(m,n\right) & =\pi\left(m-1,n+1\right)-1\\ & =\pi\left(0,n+m\right)+\sum_{k=0}^{m-1}\left\{ \pi\left(m-k,n+k\right)-\pi\left(m-k-1,n+k+1\right)\right\} \\ & =\pi\left(0,n+m\right)-\sum_{k=0}^{m-1}1\\ & =\pi\left(0,n+m\right)-m\\ & =\pi\left(n+m+1,0\right)-m-1\\ & =\pi\left(0,n+m+1\right)-\left(n+m+1\right)-m-1\\ & =\pi\left(0,n+m+1\right)-\left(n+2m+2\right)\\ & =-\left(n+2m+2\right)+\pi\left(0,0\right)+\sum_{k=0}^{n+m}\left\{ \pi\left(0,n+m+1-k\right)-\pi\left(0,n+m-k\right)\right\} \\ & =-\left(n+2m+2\right)+\pi\left(0,0\right)+\sum_{k=0}^{n+m}\left(\left(n-k\right)+2m+2-m\right)\\ & =-\left(n+2m+2\right)+\pi\left(0,0\right)+\sum_{k=0}^{n+m}\left(n+m+2-k\right)\\ & =-\left(n+2m+2\right)+\pi\left(0,0\right)+\sum_{k=0}^{n+m}\left(n+m+2\right)+\sum_{k=0}^{n+m}k\\ & =-\left(n+2m+2\right)+\pi\left(0,0\right)+\left(n+m+2\right)\left(n+m+1\right)+\frac{\left(n+m\right)\left(n+m+1\right)}{2}\\ & =-\left(n+2m+2\right)+\pi\left(0,0\right)+\frac{\left(n+m+4\right)\left(n+m+1\right)}{2}\\ & =-\left(n+2m+2\right)+\pi\left(0,0\right)+\frac{\left(n+m\right)\left(n+m+1\right)}{2}+2\left(n+m+1\right)\\ & =\frac{\left(n+m\right)\left(n+m+1\right)}{2}+n \end{align*} となるが\(m=0\)でもこの式は成り立つ。
これより、漸化式より関数が導けた。