分母に総和がある数の総和
分母に総和がある数の総和
次の総和を求めよ。
\[ \frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots=? \]
次の総和を求めよ。
\[ \frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots=? \]
\begin{align*}
\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sum_{j=1}^{k}j}\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k\left(k+1\right)}\\
& =2\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\
& =2\left(\frac{1}{1}-\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k+1}\right)\\
& =2
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 分母に総和がある数の総和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/uqpvp5a2/ |
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分母の形に気付くかな
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=?
\]
2項係数の対称性を使います
\[
\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=?
\]
2項係数の3の倍数の総和
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(3n,3k\right)=?
\]
分母にルート同士の和がある総和
\[
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}}=?
\]