距離空間と位相空間の関係

by nomura · 2023年4月24日

距離空間と位相空間の関係
距離空間$\left(X,d\right)$の開集合族$\mathcal{O}$は位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$になる。
逆は一般的に成り立たない。

$\Rightarrow$

開集合$O$の定義$\exists O\subseteq X,\forall a\in O,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq O$より、$\emptyset,X\in\mathcal{O}$となる。
任意の$A,B\in\mathcal{O}$に対し、$\forall x_{1}\in A,\exists\epsilon_{1}>0,U_{\epsilon_{1}}\left(x_{1}\right)\subseteq A$となり、同様に$\forall x_{2}\in B,\exists\epsilon_{2}>0,U_{\epsilon_{2}}\left(x_{2}\right)\subseteq B$となる。
このとき、任意の$x\in A\cap B$に対して、小さいほうの$\epsilon$-近傍は$U_{\min\left(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right)}\left(x\right)$となるので、$U_{\min\left(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right)}\left(x\right)\subseteq\left(A\cap B\right)\Leftrightarrow U_{\min\left(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right)}\left(x\right)\subseteq A\land U_{\min\left(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right)}\left(x\right)\subseteq B$$\Leftrightarrow\top$となり、開集合同士の有限積集合は開集合となる。
任意の$\lambda\in\Lambda$に対し$O_{\lambda}\in\mathcal{O}$とする。$A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}$とおくと、$A$に含まれる任意の元$x\in A$はある$\lambda_{0}$が存在し、$x\in O_{\lambda_{0}}$となる。
これより、ある$\epsilon$-近傍$U_{\epsilon}\left(x\right)$が存在し、$U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq O_{\lambda_{0}}$となり$O_{\lambda_{0}}\subseteq A$なので$U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}$となり開集合同士の和集合は開集合になる。
これらより、題意は成り立つ。