距離空間と位相空間の関係

\(\Rightarrow\)

開集合\(O\)の定義\(\exists O\subseteq X,\forall a\in O,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq O\)より、\(\emptyset,X\in\mathcal{O}\)となる。
任意の\(A,B\in\mathcal{O}\)に対し、\(\forall x_{1}\in A,\exists\epsilon_{1}>0,U_{\epsilon_{1}}\left(x_{1}\right)\subseteq A\)となり、同様に\(\forall x_{2}\in B,\exists\epsilon_{2}>0,U_{\epsilon_{2}}\left(x_{2}\right)\subseteq B\)となる。
このとき、任意の\(x\in A\cap B\)に対して、小さいほうの\(\epsilon\)-近傍は\(U_{\min\left(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right)}\left(x\right)\)となるので、\(U_{\min\left(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right)}\left(x\right)\subseteq\left(A\cap B\right)\Leftrightarrow U_{\min\left(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right)}\left(x\right)\subseteq A\land U_{\min\left(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\right)}\left(x\right)\subseteq B\)\(\Leftrightarrow\top\)となり、開集合同士の有限積集合は開集合となる。
任意の\(\lambda\in\Lambda\)に対し\(O_{\lambda}\in\mathcal{O}\)とする。\(A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\)とおくと、\(A\)に含まれる任意の元\(x\in A\)はある\(\lambda_{0}\)が存在し、\(x\in O_{\lambda_{0}}\)となる。
これより、ある\(\epsilon\)-近傍\(U_{\epsilon}\left(x\right)\)が存在し、\(U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq O_{\lambda_{0}}\)となり\(O_{\lambda_{0}}\subseteq A\)なので\(U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\)となり開集合同士の和集合は開集合になる。
これらより、題意は成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(2\leq\left|X\right|\)の密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は距離化不可能であるので逆は一般的に成り立たない。