\(0.102003\cdots\)のケーニッヒ記法は\(n\left(1\right)=1,n\left(2\right)=3,n\left(3\right)=6,\cdots\)で\(x_{n\left(1\right)}=1,x_{n\left(2\right)}=2,x_{n2\left(3\right)}=3,\cdots\)となる。
これより、\(\overline{x_{1}}=1,\overline{x_{2}}=02,\overline{x_{3}}=003,\cdots\)となり、\(x=0.\overline{x_{1}}\overline{x_{2}}\overline{x_{3}}\cdots\)となる。

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ケーニッヒの記法を使うと\(\left(0,1\right]^{2}\)と\(\left(0,1\right]\)の間に全単射写像を作れる。
\(f:\)\(\left(0,1\right]^{2}\)\(\rightarrow\left(0,1\right],f\left(a,b\right)\mapsto c\)として、
\[ \begin{cases} a=0.\overline{a_{1}}\overline{a_{2}}\overline{a_{3}}\cdots\overline{a_{n}}\cdots\\ b=0.\overline{b_{1}}\overline{b_{2}}\overline{b_{3}}\cdots\overline{b_{b}}\cdots\\ c=0.\overline{a_{1}}\overline{b_{1}}\overline{a_{2}}\overline{b_{2}}\overline{a_{3}}\overline{b_{3}}\cdots,\overline{a_{n}}\overline{b_{n}},\cdots \end{cases} \] とすればいい。
こうすると\(0.11010101\cdots\)に写る点は\(\left(0.10101\cdots,0.10101\cdots\right)\)の1点になる。
ケーニッヒ記法を使わずにすると、\(0.11010101\cdots\)に写る点は存在しないので単射であるが全射にならない。
何故なら\(\left(0.1,0.111\cdots\right)\)は\(0.11010101\cdots\)に写りそうであるが、無限小数にすると\(\left(0.1,0.111\cdots\right)=\left(0.0999\cdots,0.111\cdots\right)\)なので\(\left(0.1,0.111\cdots\right)\)は\(0.01919191\cdots\)に写り\(0.11010101\cdots\)には写らないからである。