ケーニッヒの記法の定義と例
ケーニッヒの記法の定義と例
\(x\in\left(0,1\right]\)を無限小数表示で\(x=0.x_{1}x_{2}\cdots\)とする。
このとき、\(x_{1},x_{2},\cdots\)のうちから0でないものを順番に\(x_{n\left(1\right)},x_{n\left(2\right)},\cdots\qquad n\left(1\right)<n\left(2\right)<\cdots\)とする。
ここで、\(n\left(0\right)=0\)として、
\[ \overline{x_{k}}=x_{n\left(k-1\right)+1}x_{n\left(k-1\right)+2}\cdots x_{n\left(k\right)} \] とおく。
このとき最初の0は文字として考え消してはいけない。
こうすると、
\begin{align*} x & =0.x_{1}x_{2}\cdots\\ & =0,x_{n\left(0\right)+1}x_{n\left(0\right)+2}\cdots x_{n\left(1\right)}x_{n\left(1\right)+1}x_{n\left(1\right)+2}\cdots x_{n\left(2\right)}\cdots\\ & =0,\overline{x_{1}}\overline{x_{2}}\cdots \end{align*} となる。
この表記をケーニッヒの記法という。
\(x\in\left(0,1\right]\)を無限小数表示で\(x=0.x_{1}x_{2}\cdots\)とする。
このとき、\(x_{1},x_{2},\cdots\)のうちから0でないものを順番に\(x_{n\left(1\right)},x_{n\left(2\right)},\cdots\qquad n\left(1\right)<n\left(2\right)<\cdots\)とする。
ここで、\(n\left(0\right)=0\)として、
\[ \overline{x_{k}}=x_{n\left(k-1\right)+1}x_{n\left(k-1\right)+2}\cdots x_{n\left(k\right)} \] とおく。
このとき最初の0は文字として考え消してはいけない。
こうすると、
\begin{align*} x & =0.x_{1}x_{2}\cdots\\ & =0,x_{n\left(0\right)+1}x_{n\left(0\right)+2}\cdots x_{n\left(1\right)}x_{n\left(1\right)+1}x_{n\left(1\right)+2}\cdots x_{n\left(2\right)}\cdots\\ & =0,\overline{x_{1}}\overline{x_{2}}\cdots \end{align*} となる。
この表記をケーニッヒの記法という。
\(0.102003\cdots\)のケーニッヒ記法は\(n\left(1\right)=1,n\left(2\right)=3,n\left(3\right)=6,\cdots\)で\(x_{n\left(1\right)}=1,x_{n\left(2\right)}=2,x_{n2\left(3\right)}=3,\cdots\)となる。
これより、\(\overline{x_{1}}=1,\overline{x_{2}}=02,\overline{x_{3}}=003,\cdots\)となり、\(x=0.\overline{x_{1}}\overline{x_{2}}\overline{x_{3}}\cdots\)となる。
\(f:\)\(\left(0,1\right]^{2}\)\(\rightarrow\left(0,1\right],f\left(a,b\right)\mapsto c\)として、
\[ \begin{cases} a=0.\overline{a_{1}}\overline{a_{2}}\overline{a_{3}}\cdots\overline{a_{n}}\cdots\\ b=0.\overline{b_{1}}\overline{b_{2}}\overline{b_{3}}\cdots\overline{b_{b}}\cdots\\ c=0.\overline{a_{1}}\overline{b_{1}}\overline{a_{2}}\overline{b_{2}}\overline{a_{3}}\overline{b_{3}}\cdots,\overline{a_{n}}\overline{b_{n}},\cdots \end{cases} \] とすればいい。
こうすると\(0.11010101\cdots\)に写る点は\(\left(0.10101\cdots,0.10101\cdots\right)\)の1点になる。
ケーニッヒ記法を使わずにすると、\(0.11010101\cdots\)に写る点は存在しないので単射であるが全射にならない。
何故なら\(\left(0.1,0.111\cdots\right)\)は\(0.11010101\cdots\)に写りそうであるが、無限小数にすると\(\left(0.1,0.111\cdots\right)=\left(0.0999\cdots,0.111\cdots\right)\)なので\(\left(0.1,0.111\cdots\right)\)は\(0.01919191\cdots\)に写り\(0.11010101\cdots\)には写らないからである。
これより、\(\overline{x_{1}}=1,\overline{x_{2}}=02,\overline{x_{3}}=003,\cdots\)となり、\(x=0.\overline{x_{1}}\overline{x_{2}}\overline{x_{3}}\cdots\)となる。
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ケーニッヒの記法を使うと\(\left(0,1\right]^{2}\)と\(\left(0,1\right]\)の間に全単射写像を作れる。\(f:\)\(\left(0,1\right]^{2}\)\(\rightarrow\left(0,1\right],f\left(a,b\right)\mapsto c\)として、
\[ \begin{cases} a=0.\overline{a_{1}}\overline{a_{2}}\overline{a_{3}}\cdots\overline{a_{n}}\cdots\\ b=0.\overline{b_{1}}\overline{b_{2}}\overline{b_{3}}\cdots\overline{b_{b}}\cdots\\ c=0.\overline{a_{1}}\overline{b_{1}}\overline{a_{2}}\overline{b_{2}}\overline{a_{3}}\overline{b_{3}}\cdots,\overline{a_{n}}\overline{b_{n}},\cdots \end{cases} \] とすればいい。
こうすると\(0.11010101\cdots\)に写る点は\(\left(0.10101\cdots,0.10101\cdots\right)\)の1点になる。
ケーニッヒ記法を使わずにすると、\(0.11010101\cdots\)に写る点は存在しないので単射であるが全射にならない。
何故なら\(\left(0.1,0.111\cdots\right)\)は\(0.11010101\cdots\)に写りそうであるが、無限小数にすると\(\left(0.1,0.111\cdots\right)=\left(0.0999\cdots,0.111\cdots\right)\)なので\(\left(0.1,0.111\cdots\right)\)は\(0.01919191\cdots\)に写り\(0.11010101\cdots\)には写らないからである。
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| タイトル | ケーニッヒの記法の定義と例 |
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スターリング数の簡単な値
\[
S_{1}\left(0,k\right)=\delta_{0k}
\]
2重根号
\[
\sqrt{a\pm|b|\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\right)
\]
稠密集合・疎集合・完全集合・離散集合の定義
\[
A^{a}=X
\]
[python]リスト内包表記
print([i**2 for i in range(5)]) #[0, 1, 4, 9, 16]