4次式の点の軌跡
4次式の点の軌跡
\(t\)が実数全体を動くとき、点\(\left(t^{2}+1,t^{4}+2t^{2}\right)\)の軌跡を求めよ。
\(t\)が実数全体を動くとき、点\(\left(t^{2}+1,t^{4}+2t^{2}\right)\)の軌跡を求めよ。
点\(\left(t^{2}+1,t^{4}+2t^{2}\right)\)を\(\left(x,y\right)\)と置いて、
\begin{align*} \exists t,\begin{cases} x=t^{2}+1\\ y=t^{4}+2t^{2} \end{cases} & \Leftrightarrow\exists t,\begin{cases} t^{2}=x-1\\ y=t^{4}+2t^{2} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\exists t,\begin{cases} t^{2}=x-1\\ y=\left(x-1\right)^{2}+2\left(x-1\right) \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} 0\leq x-1\\ y=x^{2}-1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} 1\leq x\\ y=x^{2}-1 \end{cases} \end{align*} となるので\(y=x^{2}-1\land1\leq x\)となる。
\begin{align*} \exists t,\begin{cases} x=t^{2}+1\\ y=t^{4}+2t^{2} \end{cases} & \Leftrightarrow\exists t,\begin{cases} t^{2}=x-1\\ y=t^{4}+2t^{2} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\exists t,\begin{cases} t^{2}=x-1\\ y=\left(x-1\right)^{2}+2\left(x-1\right) \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} 0\leq x-1\\ y=x^{2}-1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} 1\leq x\\ y=x^{2}-1 \end{cases} \end{align*} となるので\(y=x^{2}-1\land1\leq x\)となる。
ページ情報
| タイトル | 4次式の点の軌跡 |
| URL | https://www.nomuramath.com/uybes7w4/ |
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有理式のルートが整数になる問題
\[
\sqrt{\frac{n^{2}+83}{n^{2}+2}}\text{が整数となる}n
\]
展開はしないほうがいいです
\[
\left(x+y\right)^{2}\left(xy-1\right)+1\text{を因数分解}
\]
3次式の5乗を2次式で割った余り
$\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)^{5}$を$x^{2}-x+1$で割った余りは？
3乗根の有理化
\[
\frac{1}{2\cdot3^{\frac{2}{3}}+3\cdot3^{\frac{1}{3}}+2}\text{の有理化}
\]