\(\left(t-\frac{1}{2}\right)b'\left(t\right)\)を部分積分をすると
\begin{align*} \int_{x}^{y}\left(t-\frac{1}{2}\right)b'\left(t\right)dt & =\left[\left(t-\frac{1}{2}\right)b\left(t\right)\right]_{x}^{y}-\int_{x}^{y}b\left(t\right)dt\\ & =\left(y-\frac{1}{2}\right)b\left(y\right)-\left(x-\frac{1}{2}\right)b\left(x\right)-\int_{x}^{y}b\left(t\right)dt \end{align*} となる。
これを使うと、アーベルの総和公式は
\begin{align*} \sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }b\left(k\right) & =\left\lfloor y\right\rfloor b\left(y\right)-\int_{x}^{y}\left\lfloor t\right\rfloor b'\left(t\right)dt\\ & =\left\lfloor y\right\rfloor b\left(y\right)-\int_{x}^{y}\left\lfloor t\right\rfloor b'\left(t\right)dt+\int_{x}^{y}\left(t-\frac{1}{2}\right)b'\left(t\right)dt-\left(\left(y-\frac{1}{2}\right)b\left(y\right)-\left(x-\frac{1}{2}\right)b\left(x\right)-\int_{x}^{y}b\left(t\right)dt\right)\\ & =\int_{x}^{y}b\left(t\right)dt-\int_{x}^{y}\left(t-\left\lfloor t\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)b'\left(t\right)dt-\left(y-\left\lfloor y\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)b\left(y\right)-\left(x-\frac{1}{2}\right)b\left(x\right) \end{align*} となる。
\(1<\Re\left(s\right)\)として、これに\(b\left(k\right)=\frac{1}{k^{s}},x=1,y=n\)を代入して\(n\rightarrow\infty\)とする。
\begin{align*} \zeta\left(s\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{s}}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ \int_{1}^{n}\frac{1}{t^{s}}dt-\int_{1}^{n}\left(t-\left\lfloor t\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)\frac{s}{t^{s+1}}dt-\left(n-\left\lfloor n\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)\frac{1}{n^{s}}-\left(1-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{1^{s}}\right\} \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{ \left[\frac{t^{1-s}}{1-s}\right]_{1}^{n}-s\int_{1}^{n}\frac{t-\left\lfloor t\right\rfloor -\frac{1}{2}}{t^{s+1}}dt-\left(n-\left\lfloor n\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)\frac{1}{n^{s}}-\frac{1}{2}\right\} \\ & =\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2}-s\int_{1}^{n}\frac{t-\left\lfloor t\right\rfloor -\frac{1}{2}}{t^{s+1}}dt \end{align*} となるので与式は成り立つ。